xt ht1/ 2 t ,
• 条件分布形式
E[ xt | t 1 ] 0, E[ xt2 | t 1 ] ht
GARCH模型的平稳性
• GARCH模型表达的是鞅差过程，但不 一定是平稳的； • 如果 1 ，那么GARCH(1,1)模型 能够表达唯一的二阶平稳过程，此时
Rk


f ( )e d
ik


f ( ) cos(k )d ,
k 0, 1, 2,
• 如果自协方差函数绝对可加，谱密度 函数连续且能够写成
1 f ( ) 2
k


Rk eik
无条件和条件分布
• 平稳性针对的是无条件分布的特征不 随时间变化； • 各种时间序列模型往往是给出的是具 体的条件分布，条件分布的一些特征 必须是随时间变化的， • 预测的基础是条件分布。
k

ij
(k )
d d
, rdd (0)} diag{Γ(0)}

Γ(k )e i k ,
多维时间序列模型
• • • • 向量白噪声； 向量鞅差序列； VARMA模型； 多维GARCH模型
讨论几个问题
• 先对一些宏观经济或者金融的变量数 据进行统计描述，计算其平均值等， 再检验其存在单位根； • 根据几种经济变量的时间序列数据采 用主成分分析、因子分析等方法进行 综合评价（比如竞争力评价等）？
长期方差不存在的情形
• 长记忆过程： 自相关函数存在但是不 可无穷相加； • 非平稳过程：自相关函数不存在或者 难以按照常规的方式定义。
3. 白噪声的检验
ARMA模型的建模思路
• 通过自相关函数识别模型的结构初步 判断模型的阶数；如果是白噪声，不 需要建立模型； • 估计模型中的参数； • 对残差数据进行诊断；如果残差已经 是白噪声，就不需要再改变模型的设 置；
;
• 于是
(1) f (0) 0 2 (1)
2 a 2
GARCH模型
• 条件方差模型： • GARCH(1,1)模型的形式：
t ~ i.i.d .(0,1) 2 ht ht 1 xt 1 xt21 1 1 B
长期方差的参数估计
• 对数据拟合一个ARMA模型，利用
(1) 2 f (0) (1)
2 L 2 a 2
• 特别地，拟合一个AR(p)模型，利用
2 L
(1 1
2 a
p )2
一个例子
2 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
10
20
30
40
50
60
主要目的
主要针对在以往的一些参赛作品或者 学术研究论文中进行时间序列建模时存 在的一些概念性、技术性的问题进行讨 论。
主要内容
• • • • • 平稳性的讨论； 长期方差的估计； 白噪声的检验； 单位根的检验； 其他话题；
1. 平稳性的讨论
平稳过程及自相关函数
• 平稳性：严平稳和弱平稳； • 自协方差函数和自相关函数：
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0 5 10 15 20 25 30
相空间图形
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
xt 4 xt 1 (1 xt 1 )
x(t)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 x(t-1)
0.6
0.7
0.8
Newey-West估计
• Newey-West(1987)
(q) R 0 2 (1
k 1 2 L q
k ) Rk q 1
1 T k T ( yt y )( yt k y ), k 0 R k t 1 R , k0 k
长期方差（long-run variance)
如果存在极限
T 1 2 L lim E[ ( ( yt ))2 ] T T t 1
那么称其为该时间序列的长期方差 ，此时
2 var[ y] L / T , SE( y) L / T
长期方差的性质
• 如果自协方差函数绝对可加，那么长 期方差存在且满足
无条件相关和条件相关
• 通过移动窗研究多个时间序列之间的 相关性; • 主成分和条件不相关成分的问题（Fan, Wang & Yao 2008）
2. 长期方差的问题
对均值的估计
• 假设一个平稳序列{yt }的均值 E( yt ) ， 那么样本平均值
y (1/ T ) t 1 yt
白噪声过程
• 如果一个过程{at } 满足
2 E(at ) 0, R0 a >0, Rk 0, k 1, 2,
• 称其为白噪声（White Noise）, 白噪声过 程总是平稳的， 此时
2 f () a /(2 )
鞅差过程
• 如果一个过程满足
E[ yt | t 1 ] 0
Rk cov( yt , yt k ), k 0, 1, 2,
k co rr( yt , yt k ), k 0, 1, 2,
2 R0 var( yt ) y , E ( yt )
平稳过程的谱函数
• 谱密度函数是定义在 [ , ]上的偶函数
一种修正的Q检验
• Lobato, Nankervis, Savin (2002)：考虑 对长期协方差矩阵C的估计，并由此构 造Q统计量QLNS ; • 同前面的模拟分析，在5%的显著水平 下， 按照QLNS （10）的结果拒绝白噪 声假设的比率为4.3%，在10%的显著 水平下的拒绝比率为9.36%.
T
显然是无偏的估计，估计的误差？
SE( y) y / T
样本均值的方差
T 1 var[ y ] E[( y ) ] 2 E[( ( yt )) 2 ] T t 1 2
1 2 T
E[( y
t 1 s 1
T
T
t
)( ys )]
1 T T 1 2 E[( yt )( yt k )] T t 1 k 1T 1 2 {TR0 2(T 1) R1 2(T 2) R2 2 RT 1} T 1 1 2 T 1 {R0 2(1 ) R1 2(1 ) R2 2(1 ) RT 1} T T T T
• 如果( z) 0, for | z | 1 ，那么ARMA模 型定义了唯一的二阶平稳过程
( B) yt at j at j ( B ) j 0
ARMA模型的可逆性
• 如果 ( z) 0, for | z | 1，那么ARMA模 型能够唯一地表达成如下的形式
• HACC (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance matrix )
• 非参数估计方法：估计谱密度函数在 零点的值。 Newey &West(1987); Andrews(1991); Andrews & Monahan (1992) ; Newey & West (1994).
Q统计量的核密度估计（实线）
原因分析
样本自相关函数的渐近方差依赖于更 高阶过程的关联性，此处是
wt ( w1t , w2t , , wmt ) ; wit ( yt )( yt i ), i 1, 2, , m
的长期协方差
C
d


E[w t w t d ]
• 称其为鞅差（Martingale-Difference） 过程，鞅差不一定是平稳的，除非
E[ y ]
2 t 2 y
一个白噪声而非鞅差的例子
(a) Data
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
(b) ACF
对白噪声的Q检验
• 根据独立同分布（i.i.d.）情形下样本自 相关函数的渐近分布，构造Q统计量
QLB (m) T (T 2)
1 m

2
T
• 检验“时间序列是白噪声”的假设。 2 (m) 采用的渐近分布是i.i.d.假设下的
Q检验用于模型诊断
• 如果对数据拟合了一个ARMA(p,q)模型 之后，可以通过对残差进行Q检验来诊 断模型的设置是否充分。 • 注意此时不管模型当中是否考虑了常数 项，Q统计量的渐近分布都是 2 Q(m) ~ (m p q)
0.9
1
ARMA过程
• ARMA(p,q)模型
( B )( yt ) ( B)at ( B ) 1 1B ( B ) 1 1B pB p, q B q ,
• 其中{a }是白噪声
t
2 at ~ WN (0, a )
ARMA模型的平稳性

2 L k
R

k
R0 2 Rk 2 f (0)
k 1

• 对于白噪声的情形才有
2 2 L R0 y
多维的情形
• 长期协方差矩阵：
L
k
Γ

k
Γ0 (Γk Γ k ) 2 f (0)
k 1

长期方差的非参数估计
E[ x ] 1
2 t
高阶的关联性
• GARCH模型表达了二阶的关联； GARCH(1,1)模型可以写成平方项的 ARMA(1,1)的形式