类似地，T + l 期的预测也是YT 。
预测误差的方差随着l 的增大而增大。T +l 期
的预测误差的方差为 l
2
。
带漂移的随机游走过程
Yt Yt1dt
如果d > 0，平均而言过程向上移动，T+1期 的预测为：
Y ˆ T 1 E (Y T 1Y T ,L ,Y 1 ) Y T d
T + l 期的预测则是：
可检验对所有k > 0，自相关系数都为0的联 合假设，可通过Q 统计量进行。
如果计算的Q 值大于显著性水平为 的临界值， 则有1- 的把握拒绝所有k (k > 0)同时为0的假设。
例1，序列Random1是通过一随机过程（随机 函数）生成的有19个样本的随机时间序列。
从图形看：它在其样本均值0附近上下波动，且 样本自相关系数迅速下降到0，随后在0附近波动 且逐渐收敛于0。
当搜集到一个时间序列数据集时，就得到该随 机过程的一个可能结果或实现(realization)。
该时间序列所有可能的实现集，相当于横截面 分析中的总体。
样本容量就是我们观察的时期数。
美国通货膨胀和失业率部分数据表
year
通货膨胀率(%)
失业率(%)
1948
8.1
3.8
1949
-1.2
5.9
1950
0.6
Sample Autocorrelation
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4 0
10
20
30
40
Lag
铜现货价格的样本自相关函数图（日数据）：
Sample Autocorrelation Function (ACF)
Sample Autocorrelation
0.8 0.6 0.4 0.20 -Leabharlann .2三、时间序列的平稳性检验
1. 平稳性检验的图示判断
给出一个随机时间序列，首先可通过该序列 的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一 种围绕其均值不断波动的过程；
而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段 具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。
Xt
Xt
t
t
如果Yt 是一阶齐次非平稳过程，则序列: Wt =Yt −Yt-1= Yt
就是平稳的。 如果Yt 是二阶齐次非平稳过程，则序列：
Wt = Yt − Yt-1= 2Yt 就是平稳的。
(4) 单整与非单整
• 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序 列,也称原序列是1阶单整(integrated of 1)序列, 记为I(1)过程。如果经过d 次差分后变成平稳序 列, 则称原序列是d 阶单整(integrated of d), 记为 I(d)。
随时间而变化的过程。即如果Yt是平稳，则对任 意的t，k和m，都有：
p(Yt,L,Ytk)p(Ytm,L,Ytkm)
且
p(Yt)p(Ytm)
如果时间序列Yt 满足：
1）均值E(Yt)= 是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Yt)=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Yt,Yt+k)=k 是只与时期间隔k 有
YˆTl YT ld
预测的标准误差同随机游走过程。预测值随l 增加而线性增加，预测标准误差随 l 而增大。
3. 平稳和非平稳时间序列
(1) 平稳性与经典回归
经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳 的。
数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一 致性”要求——被破怀。
经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机 变量
(a)
(b)
图9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
平稳时间序列与非平稳时间序列图
进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形。
随机时间序列的自相关函数（autocorrelation function, ACF）：
k=k / 0
自相关函数是关于滞后期k的递减函数。
对一个随机过程只有一个实现(样本), 因此, 只能计算样本自相关函数(Sample autocorrelation function)。
随着k的增加，非平稳序的样本自相关函数 下降缓慢，而平稳序列样本自相关函数迅速下 降且趋于零。
rk
rk
1
1
0
k
0
k
(a)
(b)
图9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
平稳时间序列与非平稳时间序列样本自相关函数图
注意:
Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过程 生成，则对所有的k > 0，样本自相关系数近似 地服从以0为均值，1/T 为方差的正态分布,其 中T为样本数。
关，与时间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而 该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
问题： 白噪声过程是否平稳？ 随机游走过程是否平稳？
(3) 齐次非平稳过程
如果Yt 是随机游走过程，对Yt 取一阶差分(first difference):
放宽该假设：X是随机变量，则需进一步假定：
X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,) = 0
(2) 平稳过程的性质
任一随机时间按序列Y1,Y2,…,YT 都可以被认为 是由一组联合分布随机变量生成，即Y1,Y2,…,YT 代表一个联合概率分布函数 p(Y1,Y2,L,YT)的某一 特定结果。那么，一个未来的观测Yt+1可以认为 是由条件概率分布函数 p(YT1Y1,Y2,L,YT)生成，即 是给p(Y 定T1过Y1去,Y2观,L测,YT 值)Y1,Y2,…,YT下的Yt+1的概率分 布。定义平稳过程为其联合分布和条件分布均不
定义序列Yt 的滞后期为k的自相关系数为：
kE [ E (Y [( tY t Y)Y 2 ] )E (Y [t( Y kt k Y)] Y)2 ] c o v ( Y Y tt,Y Y t tk k)
对于平稳过程，有：
k E [(Y tY )( 2 Y t kY )] c o v (Y t2 ,Y t k)k
原理： 如果月度时间序列Yt 有年度的季节周期性，则
序列的数据将显示每一期与它的前12期或滞后12 期的一定程度的相关性。
方法： 通过观察时间序列Yt自相关函数的有规律的峰
值来识别季节性。
ρk
t
剔出季节变动的方法： 如果月度时间序列Yt 有年度的季节周期性，则
对原序列进行12个月的差分：Zt =Yt −Yt-12以消除 季节性。观察Zt 的样本自相关函数，如果仍然是 非平稳的，对Zt 再进行差分以获得平稳序列。
前提假设：时间序列是由某个随机过程生成 的。
即，假定序列Y1,Y2,…,YT 的每一个数值都是 从一个概率分布中随机得到。
注意：模型不必（一般也不会）与序列的过 去实际行为完全一致，因为序列和模型都是随 机的，只要模型能够刻画序列的随机特征就可 以应用。
1. 时间序列过程
规范地，一个标有时间脚标的随机变量序列被 称为一个随机过程(Stochastic process)或时间 序列过程(time series process)。
Y
Y
0
例如，假设随机过程是Yt = εt，其中εt 是均值 为零的独立同分布随机变量。则：ρ0 = 1，且对 于k > 0，ρk = 0成立，即Yt 是白噪声过程，最好
地预测报白噪声的模型是 YˆT l 0
如果对所有的k >0，序列的自相关函数为0或 近似为0，则没有必要建模预测该序列。
在实际应用中，需要估计自相关函数，即样本
自相关函数： T k (Yt Y )(Yt k Y )
ˆk t 1 T
(Yt Y )2
k k
t 1
• 为了检验自相关函数的某个数值ρk 是否为0，可 以用Bartlett的研究结果：如果时间序列由白噪 声生成，则(对所有k > 0)样本自相关系数近似地 服从均值为0，标准差为 1 的T 正态分布。如果 某个时序由100个数据点构成，则每个自相关系 数的标准误差都为0.1。因此如果某个自相关系 数大于0.2，就有95%的把握认为真正的相关系 数不为零。
0.8
cu monthly spot price
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4 0
10
20
30
40
Lag
一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图
（月度数据）：
Sample Autocorrelation Function (ACF) 1
0.8
SPtcu SPtcu1 t
cu monthly spot price
0
10
20
30
40
Lag
一阶差分后的铜现货价格样本自相关函数图 （日数据）：
Sample Autocorrelation Function (ACF)
Sample Autocorrelation
0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2
0
cu daily spot price
10
20
30
40
Lag
1.3
5.3
1951
7.9
3.3
﹕
﹕
﹕
1998
1.6
4.5
1999
2.2
4.2
2000
3.4
4.0
2002
2.8
4.7
2002
1.6
5.8
2003
2.3
6.0
2. 白噪声和随机游走
一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同 方差的独立同分布序列：