若 Rx(m) 绝对可积：
Rx(m)
m
定义 Sx(w) Rx(m)e jmwT ：,T为采样间隔。此
式为
Rx(m)
m
的离散傅里叶变换
(
T
)
。
可设：
Rx(m) 1 Sx(w)e jmwT dw 2
若令T=1，
Sx(w) Rx(m)e jmw
Rx(m)
m
1
2
Sx(w)e
性质：
10 Rx(m) Rx(m),Cov(m) Cov(m)
Rxy(m) Rxy(m), Covxy (m) Covxy (m)
20
Rx(0) Rx(m)
30
limRx(m) Exi E x j mx2
m
40
Cov(m) Rx(m) mx2,Cov(0) x2
四、时间序列的各态历经性
时间均值
X (n) lim 1
N
X (n)
N 2N 1 nN
时间自相关函数：
1 N
R(m) lim
X (n)X (m)
N 2N 1 nN
如果平稳随机序列的集平均与集自相关函 数依概率1趋于平稳样本序列的时间平均与时 间自相关函数，则称平稳随机序列具有各态历 经性。
4.4 各态历经序列的功率谱
则称 x(tN )为广义平稳时间序列。
4.3 时间序列的数字特征
一、数字期望（均值）
实随机序列xn 的数学期望：
mx Ex(n) Exn
二、均方值与方差
• 均方值P(x) E xn2 表示随机序列xn
平均功率。
• 方差： x2 E (xn mx )2
的总
• 均值 mx ,方差 x2与 Px 均方值的关系
称为随机变量 xn 和xm 的联合概率分布函
数。
其联合概率密度函数为
p(xn ,
xm
)
2F(xn , xm xn xm
)
• N维概率分布函数和概率密度函数
F (x1, x2 , , xN ) px(t1 ) x1, x(t2 ) x2 , , x(tN ) xN
p(x1, x2 ,
xN
)
若xn 和yn 是平稳的：
Covxy (i, j) Covxy (m) Rxy(m) mxmy
• 若对所有的m有： Rxy(m) 0 ，则称 xn 与yn 互为正交
•
若有 Rxy(m) mxmy ，即 Covxy (m) 0 ，
则称 xn 与 yn 互不相交。
注：统计独立必不相关，但反之不一定成 立。
第四章 时间序列及其模型
4.1 时间序列
对平稳随机过程x(t)在 t t1,t2 , ,tn 各时 刻进行等间隔采样的一组随机变量，称为随 机序列，常称为时间序列，因为是等间隔的， 常记为： x(1), x(2), , 。x(n)
4.2时间序列的统计特性
• 一维分布函数和概率密度函数
F(xn ) px(tn ) xn
jmwdw
令m=0,有：
Rx(0) E x2 (n) P(x) 1
Sx(w)dw
2
可见 Sx(w)为随机序列 xn 的功率密度函
数。
4.6 时间序列模型
思路：用各种随机差分方程表示时间序列 信号的模型，一般一个平稳离散随机信号 可视为白噪音序列，通过某一离散时间线 性系统所产生的，即
N F(x1, x2 , , xN ) x1x2 xN
• 如果 p(x1, x2 , xN ) p(x1) p(x2 ) p(xN ),则称N
个随机变量 x1, x2 , xN 之间是统计独立的。
•
对时间序列 x(tN ) ，若 p(xn ) p(xnm )
且 p(xn , xm ) p(xi , x j ) ， 其中 m n j i ，
其中 ak (k 1,2, , p)为常数， a p 0
两边取Z变换：
Байду номын сангаас
X (Z) a1X (Z)Z 1 a2 X (Z)Z 2 ap X (Z)Z p W(Z)
对于平稳随机序列有
P(x)
2 x
mx 2
• 若随机序列 xn 满足平稳性，则 mx ， x2，
Px 与n无关。
即，对所有整数n和m，有：
mx Exn Exnm
x2 E (xn mx )2 E (xnm mx )2
Px E xn2
E
x2 nm
三、时间序列的相关性
1. 实随机序列xn 在时刻i和时刻j之间的自相
若 xn 平稳：
Cov(i, j) Cov(m) Rx(m) mx2
3. 实随机序列 xn 和 yn 的互相关函数
Rxy(i, j) E(xi x j )
若 xn 和 yn 是平稳的：
Rxy(i, j) Rxy(m),m j i
4. 互协方差函数：
Covxy (i, j) E (xi mi )( y j y j ) Rxy(i, j) mim j
AR（p）模型表示：x(n)是它的p个过去值和白噪
声 w(n)的线性组合。
“自回归”的意思：（该模型的）现在的输
出x(n)
w(n)
以随机误差 线性回归于它的p个
• 过A去R（值p。）模型传递函数
由（4-73）式设
x(n) a1x(n 1) a2 x(n 2) a p x(n p) w(n)
关函数 Rx(i, j) E(xi , x j )
若 xn 平稳：
Rx(i, j) E(xi , x j ) E(xi , xim ) Rx(m), m j i
2. 自协方差函数：
Cov(i, j) E (xi mi )( x j m j ) Rx(i, j) mim j
其中 x(tn )表示一随机变量，xn 表 x(tn ) 中的
一个可能取值， p• 表示概率
一维概率密度函数
p(xn )
F (xn ) xn
F (xn )
xn
p(xn
)dxn
• 二维联合概率分布函数和概率密度函数
设时间 tn 和 tm 的状态为和，则
F (xn , xm ) px(tn ) xn , x(tm ) xm
w
h(n)
（n）
白噪声 序列
系统
x（n） 平稳随机序列
一、 自回归模型（AR模型） 设 w(n)为具有零均值，方差为 n2的平稳白 噪声序列。若随机序列 x(n) 可表示为：
p
x(n) ak x(n k) w(n) k 1
（4-73）
则称上式为p阶自回归模型（autoregressive），简称AR模型，用AR（p）表示。