→ ������ ������������ ������������
→ ������ ������������ ������������ | = | ������������ ������������
������������ ������������ + |������ ������������ | → ������ ������
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
= ������������������ ������ ������ + ������������ (������ ������������ ������������ + ������ ������������ ������������ ) 方向导数 ������������ │
������ ������ ������ ������
→
������
→ ⊥→ 且 → ⊥→
������ ������ ������ ������
平面的点法式方程→ →
������ ������0 ������
=0
→ 平面法线
������
→ 椭圆球面
������0 ������
平面上的向量
������ 2 ������ 2 ������ 2 + + =1 ������2 ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2 − − =1 ������2 ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2 − = ������ ������2 ������ 2
0
对坐标的曲线积分，������(������, ������)与������(������, ������)在有向曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 ������ = ������(������) ������ 1{ {������[������(������), ������(������)]������′(������) + ������[������(������), ������(������)]������′(������)}������������ ○ 有： ∫ ������(������, ������)������������ + ������(������, ������)������������ = ∫ ������ ������ ������ = ������(������) 2 ������ = ������(������)有： ∫ {������[������, ������(������)] + ������[������, ������(������)]������′(������)}������������ ○ ������(������, ������)������������ + ������(������, ������)������������ = ∫ ������ ������ 当
Ω Ω
Ω 与������ 2 或������ 2 或������ 2 有关就可用 对弧长的曲线积分，������(������, ������)在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 ������ = ������(������) ������ 1{ ○ ，(������ ≤ ������ ≤ ������)有： ∫ ������(������, ������)������������ = ∫ ������[������(������), ������(������)]√������′2 (������) + ������ ′2 (������)������������ (������ < ������) ������ ������ ������ = ������(������) 2 ������ = ������(������)，(������0 ≤ ������ ≤ ������)有： ∫ ������(������, ������)������������ = ∫������ ������[������, ������(������)]√1 + ������ ′2 (������)������������ (������0 ≤ ������) ○ ������ ������
������������ ������������ + |������ ������������ | → ������ ������
������������ =→ ������������ | → ������ ������
→= ������������ → + ������������ → + ������������ →
方向角 方向余弦
→ 与������轴：������
������������
csc ������ =
������ |������|
→
→→ ������������������ ������ =
������ ������
������
|������||������|
θ
→
������
→ ×→ = （������������ → + ������������ → + ������������ → ）× （������������ → + ������������ → + ������������ → ）
������(������������ ������������ ) 的计算 ������������
1 当������������ = C即有������(������������ ������������ ) = ������������ (������������������ ������������ + ������������������ ������������ ) = ������������ (������������������ ������������ + ������������������ ������������ ) ○
������ ������ ������ ������2 (������)
y d
∬ ������(������, ������) ������������ = ∫ ������������ ∫
������1 (������)
������(������, ������)������������
������ = ������1 (������) a x D ������ = ������2 (������)
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ = + = ������������ ������������ + ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
������ ������
D 与������ 2 或������ 2有关就可用
������ ٠������ ������2 (������) ������1 (������) ������2 (������,������)
∭ ������(������, ������, ������)������������ = ∫ ������������ ∫ ������ = ������������������������������ 三重积分转化为柱坐标计算 { ������ = ������������������������������ ������ = ������
1 ——sxd
������(������������ ������������ ) ������������
亦然
2 当������������ = ������������ (������, ������)即有 ������(������������ ������������ ) = ������������ ������������������ + ������������ (������������������ ������������ + ������������������ ������������ ) ○
椭圆锥面 二次曲面 单叶双曲面 椭圆物面
������ 2 ������ 2 + = ������ 2 ������2 ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2 + − =1 ������2 ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2 + = ������ ������2 ������ 2
������������
(������0 ,������0 )
= ������������ (������0 , ������0 ) cos ������ + ������������ (������0 , ������0 ) cos ������，其中cos ������，cos ������是方向������ 的方向余 弦
梯度grad������(������0 , ������0 ) =▽������(������0 , ������0 ) = ������������ (������0 , ������0 ) → +������������ (������0 , ������0 ) →