2010年“北约”自主招生数学试题及解答
1．（仅文科做）02
απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<
时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02
x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．
(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02
x π<<上单调增。

∴在02
x π<<
上有()(0)0g x g >=。

即tan x x >。

注记：也可用三角函数线的方法求解．
2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB
（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面
直角坐标系．
⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；
⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．
不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是
合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．
且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；
对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是
22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．
下面研究正五边形对角线的长．
I
H
G F E 1
111x x-1
如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=
． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知
111EF
EH x FG x HG =
==-
．解得x =
3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）
【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线
BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，
且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．
由于2y x '=-，
于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②
联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()
y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得22
2(,0)2y C x -；
对于②，令0y =，得11
2(,0)2y D x -． 于是2212121212
22112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2
ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b
∆++=++=+++++
1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab
=+++⋅++≥ ③
0s >，则有
331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个
1243691616111116)]8()2
9
s s s ⋅⋅[
⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④
又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．
∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s
=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213
s <时()0g s '>．
则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ
在0t 时取得最小值，问当0105
t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 2
22()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=
+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα
+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23
ππ．
5．（仅理科做）存不存在02
x π<<
，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x
-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x
+=．
若cos sin 0x x -=，有4
x π=．而此时1,122不成等差数列；
若cos sin 1sin cos x x x x
+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22
x x x =∈，矛盾！
2011年“北约”自主招生数学试题及解答
2012年“北约”自主招生数学试题及解答
《自主招生》三大系列
《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》
从
从高
高一
一开
开始
始行
行动
动起
起来
来！
！
⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。

《全国重点高校自主招生备考指南·华约+卓越联盟版》
《全国重点高校自主招生备考指南·北约版》（含复旦千分考）
政
政策
策、
、选
选校
校、
、笔
笔试
试、
、面
面试
试，
，一
一本
本全
全搞
搞定
定！
！
⊙细致分析政策信息，解答历年考生的常见问题
⊙教你锁定目标高校，汇编盟内高校的关键信息
⊙参照历年真题的题型、知识分布、难度范围，编制仿真模拟卷，供你冲刺练兵
⊙指点面试要津，列举面试真题、模拟题，助你顺利闯过最后关卡
《名牌大学自主招生高效备考》(高三学生适用)
为
为优
优秀
秀高
高中
中生
生量
量身
身定
定制
制，
，分
分学
学科
科深
深入
入导
导航
航
⊙分学科侧重补充中学教材上未涉及的但在自主招生笔试中经常考到的重要知识
⊙以清华北大复旦交大等校的历年考题为例展示这些知识和原理的运用
⊙辅以一线教师精选的试题供参加自主招生考试的学生训练使用
《名牌大学自主招生同步辅导》(高一、高二学生适用)
⊙按照学科，又分上下册 ⊙每册书大体按小专题(讲)编写，次序与学校教学内容的次序大体相同，上册内容紧扣高一教材，下册内容紧扣高二教材。

每个专题都包含以下部分：
知识归纳——将高考教材中已有的相关知识作简要总结，重点突出教材中不太讲或略讲的，但自主招生中常考的知识内容。

并做到每个知识点都配有相应的例题，以加深学生对这部分知识的理解。

真题精析——主要选取与本专题知识相关的一些名校自主招生试题，通过相应的分析和点评，让学生体会到自主招生在知识和能力两方面是怎样考查学生的。

巩固练习——结合本专题的知识内容选取若干练习题供学生复习巩固应用，题目分A 、B 两级，难度有所区分。

配有答案与提示，方便学生使用。