2018年“北约”自主招生数学试题（理科）
1．求x 的取值范围，使得()21f x x x x =+++-是增函数．
2．求1162271021x x x x +-++-+=的实数根的个数．
3．已知22
(2)(2)0x x m x x n -+-+=的4个根组成首项为14的等差数列，求m n -．
4．已知锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比．
5．已知点(2,0),(0,2)A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，求ABC ∆面积的最小
值．
6．在1,2,,2012L 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
7．设点A 、B 、C 分别在边长为1的正三角形的三边上，求222AB BC CA ++的最小值．
8．若关于x 的方程sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解的a ，求实数a 的范围．
9．求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形．
10．求证：对于任意的正整数n ，(1n +必可以表示成的形式，其中s N +∈．。