§5 简单的幂函数 整体设计 教学分析 教材从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况，但是要指出x为其他实数时仍有意义，留待第三章解决．对于函数的奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像的对称性，着重从对称的角度应用这一性质，也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不需要过难，要循序渐进． 值得注意的是尽量用信息技术画幂函数的图像，通过它们的图像，让学生自己归纳出它们的性质． 三维目标 1．了解指数是整数的简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力． 2．会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力． 3．了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力． 重点难点 教学重点是幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念． 教学难点是判断函数的奇偶性． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(1)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数． (2)如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．
(3)如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a＝S12，这里a是S的函数． 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边是指数式，且底数都是变量) 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给它们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？(变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式) 思路2.我们已经熟悉正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书引出课题． 推进新课 新知探究 提出问题
①给出下列函数，y＝x，y＝12x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察这些解析式的特点. ②根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.
③函数y＝x，y＝1x的图像对称性有什么共同点？
④函数y＝x，y＝1x的解析式满足f－x＝－fx吗？ ⑤函数y＝x2，y＝|x|的图像对称性有什么共同点？ ⑥函数y＝x2，y＝|x|的解析式满足f－x＝fx吗？ 活动：①主要看函数的变量的位置和解析式的形式． ②总结出解析式的共性后，类比前面的式子，起出一个名字． ③画出函数y＝x，y＝1x的图像来观察． ④代入函数的解析式验证即可． ⑤画出函数的图像来观察． ⑥代入函数的解析式验证即可． 讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上． ②由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子． 即幂函数的定义： 一般地，形如y＝xα(x∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
如y＝x2，y＝12x，y＝x3等都是幂函数，幂函数与二次函数一样，都是基本初等函数． ③函数y＝x，y＝1x的图像都关于原点对称． 一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数． ④都满足f(－x)＝－f(x)． 因此有：函数f(x)是奇函数函数f(x)的图像关于原点对称对定义域内任意的x，f(－x)＝－f(x)．
⑤都关于y轴对称． 一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数． ⑥都满足f(－x)＝f(x)． 因此有：函数f(x)是偶函数函数f(x)的图像关于y轴对称对定义域内任意的x，f(－x)＝f(x)．
当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性． 提出问题 在图1中，只画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．
图1 讨论结果：函数y＝x－1，y＝－x3是奇函数，其图像关于原点对称；函数y＝x2＋1，y＝－x4是偶函数，其图像关于y轴对称．则这些函数图像的另一半如图2所示．
图2 在研究函数时，如果知道其图像具有关于y轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少了工作量． 应用示例 思路1 例1 画出函数f(x)＝x3的图像，讨论其单调性． 活动：学生思考描点法画函数图像的步骤和函数单调性的几何意义． 解：先列出x，y的对应值表(如下表)，再用描点法画出图像，如图3. x … －2 －1 －12 0 12 1 2 …
y … －8 －1 －18 0 18 1 8 …
图3 从图像上看出，y＝x3是R上的增函数． 点评：本题主要考查描点法画函数的图像，以及应用图像讨论函数单调性的能力． 变式训练
画出幂函数y＝x12的图像，并讨论其单调性．
答案：幂函数y＝x12的图像如图4所示．
图4 从图像看出，函数y＝12x在[0，＋∞)上是增函数. 例2 判断f(x)＝－2x3和g(x)＝x4＋2 的奇偶性． 分析：根据函数奇偶性的定义来判断． 解：因为在R上，f(x)＝－2x3，f(－x)＝－2(－x)3＝2x3，所以f(x)＝－f(－x)． 于是f(x)是奇函数，而g(x)＝x4＋2，g(－x)＝(－x)4＋2＝x4＋2， 所以g(x)＝g(－x)．于是g(x)是偶函数． 点评：本题主要考查函数的奇偶性及其判断方法． 判断函数奇偶性的方法： (1)定义法，其步骤是：①求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；②当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；③当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；④当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)图像法：如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图像关于原点和y轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图像关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数． 注意：分段函数的奇偶性要分段判断． 变式训练 1．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝2x2＋2xx＋1；(2)f(x)＝x3－2x. 解：(1)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)函数的定义域为R， f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
2．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________.
解析：利用偶函数的性质f(x)＝f(－x)求解．当x∈(0，＋∞)时，则－x＜0.又∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4. 答案：－x－x4 3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )． A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 解析：各个选项中函数的定义域都是R.A中设F(x)＝f(x)f(－x)，则F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，即函数F(x)＝f(x)f(－x)为偶函数；B中设F(x)＝f(x)|f(－x)|，则F(－x)＝f(－x)|f(x)|，此时F(x)与F(－x)的关系不能确定，即函数F(x)＝f(x)|f(－x)|的奇偶性不确
定；C中设F(x)＝f(x)－f(－x)，F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，即函数F(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数；D中设F(x)＝f(x)＋f(－x)，F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，即函数F(x)
＝f(x)＋f(－x)为偶函数． 答案：D 思路2 例1 已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时f(x)＞0，f(2)＝1. (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f－52与f74的大小． 分析：解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式．(1)利用赋值法证明f(－x)＝f(x)；(2)利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调性比较它们的大小．
解：(1)函数的定义域是x≠0. 令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， ∴f(1)＝0. 令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)， ∴2f(－1)＝0.∴f(－1)＝0. ∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数． (2)设0＜x1＜x2，则
f(x2)－f(x1)＝fx1·x2x1－f(x1)＝f(x1)＋fx2x1－f(x1)＝f
x2
x1
，
∵x2＞x1＞0，∴x2x1＞1.∴fx2x1＞0，即f(x2)－f(x1)＞0. ∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(1)知f(x)是偶函数，则有f－52＝f52，
由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f52＞f74， ∴f－52＞f74. 点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系等式进行有效的变形和恰当的赋值． 变式训练