分类讨论
【知识要点】
分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。
“物以类聚，人以群分”。
将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。
不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。
因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。
应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。
运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
1命题动态：
分类讨论思想是中考的必考内容，历年来，备受全国各省市命题者的青睐，题型多样，主要考察学生数学思维和逻辑推理能力，经常与分类讨论相关的题目有绝对值的化简与计算，三角形边角关系，等边三角形，实际问题以及动点问题中，难度系数较大，对学生能力要求很强，纵观广州近几年考卷，几乎都在动点问题和实际问题中，平均分值16分左右。
2 突破方法：
a.牢固掌握概念，掌握概念间的区别与联系。
b.动点问题中的分类讨论是难点，需要同学们认真、细致的分析运动过程，依据动点某时刻所处的位置，化动为静，再利用平面几何知识去处理。
c.实际问题主要是考察学生对数学的驾驭能力以及一些常识性问题，比如人数不能为小数，时间不能为负数等等。
【考点精析】
考点1. 许多定义，定理，公式是分类的。
例1. 化简a 32a ---。
例2. 求11+--=x x y 的最大值与最小值
【举一反三】
1．化简：1x 2x --+
考点2. 某些运算和推理过程需要分类
例3. 已知0≠abc ，且,p b
a
c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定过
A . 第一第二象限
B 第二第三象限
C 第三第四象限
D 第一第四象限
【举一反三】
1． 已知实数b ,a 满足0ab ,1b a 22>=+，求22a 1b b 1a -+-的值。
2．求a b c a
b
c
+
+
的值。
考点3. 题设条件不确定要分类
例4.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．
已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三．．． 角形．．
，则点C 的个数是 A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
例5.已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组2-3,
328,
x y x y =⎧⎨
+=⎩则此等腰三角形的周长为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．5或4
例6.已知圆中两条平行弦长分别为10和24，圆的半径为13，求这两条平行弦间的距离。
例7、某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠。
甲班有56名学生，乙班有54名学生。
（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花费多少元？
（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜？
【举一反三】
1、直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .
2．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A ．50° B ．80° C ．65°或50° D ．50°或80°
3.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm
考点4.题中含有参数
例8. 解关于x 的方程0a ax 2x )1a (2
=+--。
例9 已知直线b kx y +=不经过第三象限，则下列结论正确的是---------------（ ）
A ．0b ,0k >>
B 。
0b ,0k ><
C 。
0b ,0k <<
D 。
0b ,0k ≥<
【举一反三】 1：关于x 的方程22
(21)10k x k x
+-+=有实数根，则k 的取值范围是（）
A ．4k ≤ B.104k k ≤
≠或 C.k<14 D. k ≥14
2：关于x 的方程（a-1）x 2
+x+ a 2
-1=0的一个根是0，则a 的值为（）
A ．1 B. -1 C. 1或-1 D.
1
2
3.关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（）
A ．a ≥1
B ．a ＞1且a ≠5
C ．a ≥1且a ≠5
D ．a ≠5 4．已知关于x 的方程,1
x m
1x 11x 1x 2-=--+-求m 为何值时，方程有两个不相等的实数根。
考点5. 图形运动变化过程中可能产生诸多情况，需要分类。
例10.如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动
点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－
1
2
x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1
与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
例11.如图13，二次函数)0(2
<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为
4
5。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
【举一反三】
1.已知：如图，⊙A 与y 轴交于C 、D 两点，圆心A 的坐标为（1，0）， ⊙A 的半径为5，过点C 作⊙A 的切线交x 于点B （－4，0）。
（1）求切线BC 的解析式；
（2）若点P 是第一象限内⊙A 上一点，过点P 作⊙A 的切线与直线BC 相交于点G ，且∠CGP=120°，求点G 的坐标；
（3）向左移动⊙A （圆心A 始终保持在x 上），与直线BC 交于E 、F ，在移动过程中是否存在点A ，使得△AEF 是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）y 轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结P A，若P A=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？。