l
的抛
物线 y2. (1)求抛物线 y2 的表达式； (2)如图 2，在直线 l 上是否存在点 T，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点 T 的坐标；若不存
在，请说明理由；
(3)点 P 为抛物线 y1 上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线 y2 于点 Q，点 Q 关于直线 l 的对称点为 R. 若以 P，Q，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线 PR 的表达式．
(3)设 Q(m， m2－ m)，根据相似三角形的判定方法，分两种情况讨论，然后分别解关于 m 的绝对值方程可 42
得到对应的 P 点坐标．
【自主解答】
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1 4．(2018·新疆乌鲁木齐中考)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝－ x2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)，
4 B(8，0)． (1)求抛物线的表达式； (2)点 C 是抛物线与 y 轴的交点，连结 BC，设点 P 是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点 D. ①是否存在点 P，使线段 PD 的长度最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； ②当△PDC 与△COA 相似时，求点 P 的坐标．
1 11 即 y2＝－4x2＋2x－4.
(2)抛物线 y2 的对称轴 l 为 x＝1，设 T(1，t)． 3
已知 A(－3，0)，C(0， )． 4
如图，过点 T 作 TE⊥y 轴于点 E，则
3
3 25
TC2＝TE2＋CE2＝12＋( －t)2＝t2－ t＋ ，
4
2 16
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153 TA2＝AB2＋TB2＝(1＋3)2＋t2＝t2＋16，AC2＝ .
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此类题型主要是抓住图形特征进行讨论，如运动过程中对产生的形状不同进行讨论．选择不同的分类依据 会给问题解决带来不一样的难易程度，所以选择分类依据很重要．
3 ． (2018· 云 南 中 考 ) 在 △ABC 中 ， AB ＝ 34， AC ＝ 5 ， 若 BC 边 上 的 高 等 于 3 ， 则 BC 边 的 长 为 __________． 类型五 由对应关系不确定分类
3 2. 【自主解答】
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题目条件不明确或本身隐含条件是此类题型的特点，解题时，首先要仔细审题，打破思维定势，全面考虑 问题，对题目中隐含的条件进行挖掘，这也是此类题型分类讨论的依据．
2．(2018·山东菏泽中考改编)一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是 36，则输出的结 果为 106，要使输出的结果为 127，则输入的正整数是______________．
【分析】在 Rt△PMN 中解题，要充分运用好垂直关系和 45 度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形 ABCD 以每秒 1 cm 的速度开始向右移动到停止，和 Rt△PMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况， (1)0≤x≤2；(2)2＜x≤4；(3)4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可． 【自主解答】
6 cm，矩形 ABCD 中 AB＝2 cm，BC＝10 cm，点 C 和点 M 重合，点 B，C(M)，N 在同一直线上，令 Rt△PMN 不 动，矩形 ABCD 沿 MN 所在直线以每秒 1cm 的速度向右移动，至点 C 与点 N 重合为止，设移动 x 秒后，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为 y，则 y 与 x 的大致图象是( )
∵△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45°得到△A′B′C，
∴∠DCF＝45°.
设 DF＝CF＝x.
∵l1∥l2，∴∠ACE＝∠DAF， DF AE 1
∴ ＝ ＝ ，即 AF＝2x， AF CE 2
∴AC＝3x＝2 5，
2
2
∴x＝ 5，CD＝ 2x＝ 10.
3
3
Ⅱ.如图 4，此时△ABC 等腰直角三角形．
1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是 8，则这个数是( )
A．－8
B．8
C．±8
1 D．－
8
类型二 由公式条件分类
(2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做
“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
(1)概念理解：
如图 1，在△ABC 中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理
【分析】(1)应用待定系数法求表达式； (2)设出点 T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论； (3)设出点 P 坐标，表示出 Q，R 坐标及 PQ，QR，根据以 P，Q，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论 对应边相等的可能性即可． 【自主解答】
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此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角 是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判 断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)．
16
3 25 153 当 TC＝AC 时，即 t2－ t＋ ＝ ，
2 16 16
3＋ 137
3－ 137
解得 t1＝ 4 或 t2＝ 4 ；
153 当 TA＝AC 时，得 t2＋16＝ ，无解；
16
3 25
77
当
TA＝TC
时，得
t2－ t＋ ＝t2＋16，解得 2 16
t3＝－
8
.
综上可知，在抛物线 y2 的对称轴 l 上存在点 T，使△TAC 是等腰三角形，此时 T 点的坐标为 T1(1，
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专题三 5 大数学思想方法
第一节 分类讨论思想
类型一 由概念内涵分类
1 (2018·山东潍坊中考)如图 1，抛物线 y1＝ax2－2x＋c 与 x 轴交于点 A 和点 B(1，0)，与 y 轴交于点
3
C(0， )，抛物线 4
y1
的顶点为
G，GM⊥x
轴于点
M.将抛物线
y1
平移后得到顶点为
B
且对称轴为直线
类型三 由位置不确定分类 (2018·山东潍坊中考)如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，∠B＝60°，动点 P 以 1 厘米/秒的速度自
A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止，动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止．若 点 P，Q 同时出发运动了 t 秒，记△BPQ 的面积为 S 厘米 2，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是 ()
设 PR 的表达式为 y＝kx＋b，
3
1
{ { b＝ ，
k＝－ ，
42ຫໍສະໝຸດ 则有1 解得 32k＋b＝－ ， b＝ ，
4
4
13 即 PR 的表达式为 y＝－ x＋ .
24
当 PQ＝AM 且 QR＝GM 时，无解．
情况二：当点 P 在直线 l 右侧时，
1 11 1 13 P′Q′＝－ m2＋ m－ －(－ m2－ m＋ )＝m－1，
1 ∵∠ACB＝30°，AC＝6，∴AD＝ AC＝3，
2 ∴AD＝BC＝3， 即△ABC 是“等高底”三角形． (2)如图 2，∵△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，
.
.
.
.
∴AD＝BC. ∵△ABC 关于 BC 所在直线的对称图形是△A′BC， ∴∠ADC＝90°. ∵点 B 是△AA′C 的重心，∴BC＝2BD. 设 BD＝x，则 AD＝BC＝2x，CD＝3x， 由勾股定理得 AC＝ 13x，
.
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类型一
参考答案
【例 1】 (1)由题意知
3
1
{ { c＝ ，
a＝－ ，
4
4
1
解得 3
a－ ＋c＝0， c＝ ，
2
4
1 13 ∴抛物线 y1 的表达式为 y1＝－4x2－2x＋4.
∵抛物线 y1 平移后得到抛物线 y2，且顶点为 B(1，0)， 1
∴抛物线 y2 的表达式为 y2＝－4(x－1)2，
1 13 1 11 PQ＝－ m2－ m＋ －(－ m2＋ m－ )＝1－m，
4 24 4 24 QR＝2－2m. 又∵以 P，Q，R 构成的三角形与△AMG 全等，
.
.
.
.
当 PQ＝GM 且 QR＝AM 时，m＝0， 3
可求得 P(0， )，即点 P 与点 C 重合， 4
1 ∴R(2，－ )．
4
【分析】(1)过 A 作 AD⊥BC 于 D，则△ADC 是直角三角形，∠ADC＝90°，依据∠ACB＝30°，AC＝6，可得 1
AD＝ AC＝3，进而得到 AD＝BC＝3，即△ABC 是“等高底”三角形； 2
(2)依据△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，可得 AD＝BC，依据△ABC 关于 BC 所在直线的对称图 形是△A′BC，点 B 是△AA′C 的重心，即可得到 BC＝2BD，设 BD＝x，则 AD＝BC＝2x，CD＝3x，由勾股定
【分析】应根据 0≤t＜2 和 2≤t＜4 两种情况进行讨论．把 t 当作已知数值，就可以求出 S，从而得到函 数的表达式，进一步即可求解． 【自主解答】
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此类题型多为点、线、图形位置的不确定，解题时，依据位置的不同情况进行分类讨论，分类时容易遗漏， 考虑问题时务必要全面．
类型四 由形状不确定分类 (2018·湖北黄石中考)如图，在 Rt△PMN 中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝
3＋ 137
3－ 137
77
4 )，T2(1， 4 )，T3(1，－ 8 )．