0 h
式中 h 6.626 10
34
J s, 称为普朗克常数.
上面这个假说,叫做普朗克能量子假说,它与经 典理论能量是连续的理论相矛盾.
Planck’s quantum theory
以这个假说为前提,根据热力学定律,普朗克得出 黑体辐射公式(普朗克公式):
r0 ( , T )
Hydrogen spectrum
Figure shows hydrogen spectral lines in the visible region. These were the first lines to be discovered. There are 4 lines at 210 nm, 434 nm, 486nm and 656 nm (red). These lines form the Balmer series named after the scientist who came up with an empirical formula for the wavelengths of these lines.
Line spectra of some elements
The existence of these lines cannot be explained by classical Physics
Emission (line) spectra of some elements
Spectrum of Hydrogen Atom
Planck’s quantum theory
可以算出,腔内在～+d频率范围内,本征模 数为 2 8 d , 3 c
瑞利根据热力学中能量均分定理, 认为每一本 征振动的动能和势能各占KT/2.因此在～+d 频率范围内的能量为
( , T )d
8 c
3
2
kTd ,
Planck’s quantum theory
(m1

L1
, m2

L2
, m3

L3
kz
插页
)

L3
注意:驻波波矢有限制.
ky
不同的 m1, m2, m3 形成三
维空间点阵, 8个格点形 L2 成一个长方体元, 每个 L1 格点又属于8个长方体元. 因此,每一格点对应一个长方体元, 有n个格 点，对应n个长方体元, 就有n个振动模式.
kx
m3
2 L3 cos

.
因此，谐振腔中可以存在的波矢为:
k x m1

L1
, k y m2
2 2 c /

L2

, k z m3
2 c ,

L3
.
k

Planck’s quantum theory
m1 2 m3 2 m2 2 2 2 k ( ) ( ) ( ) L2 L3 L1
r ( , T ) r ( , T )
.
入射
Thermal Radiation
基尔霍夫定律:
物体的单色辐出度和吸收本领的比值与物 体性质无关，对于所有物体，这个比值是波长
和温度的函数。
r (, T ) (, T )
f (, T ).
f(,T)是与物体性质无关的普适函数.
Black body
Thermal Radiation
Atoms or molecules are always in thermal motion as long as their temperature is not 0K. The irregular motion of atoms or molecules causes light radiate, called as thermal radiation.
dr0 (, T ) c 4
(, T ) cos d,
Planck’s quantum theory
插页
在小孔外２立体角空间内总辐射能量为

r0 (, T )
c (, T ) cos sin dd 4 (, T ) 4
0 0
1
2 2
c
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Modern Optics
Blackbody Radiation and Planck’s Quantum Theory
Content
1. Thermal radiation 2. Black body and Black body radiation 3. Planck’s quantum theory
(1) 维恩公式和瑞利-金斯公式 维恩假设分子辐射频率与分子热运动 动能成正比.因此按频率的能量分布与按速 度的麦克斯韦分布类似,由此得出光谱分布 函数的解析式：
Planck’s quantum theory
r0 ( , T ) C1

c
3 2

C 2 T
e
.
曲线
维恩公式与实验曲线在短波部分相符, 但在长波 部分与实验曲线偏离. 瑞利-金斯提出,在达到热平衡的空腔内,电 磁辐射场是具有不同频率和不同传播方向的驻波 系统.其中每一种驻波是辐射场中的一种波型, 或称模式.都代表辐射场中的一个稳定的状态.因 此可以称为本征振动的方式或本征模.
插页
因此有

c 2 k c 2 ( m1 L1 ) (
2
m2 L2
) (
2
m3 L3
) .
2
一组
m1, m2, m3 对应一种模式.不同的频率应有不同
的模式,相同的频率,因k方向不同,也会有不同的模式. 一组 m1, m2, m3 对应一个波矢,对应波矢三维空间中 的一个点.
波矢三维空间中的一任意 点,其坐标为


:e
:e

所以,平均能量为

m 0
m
m 0


m
0
e
m 0 kT
0 kT
e

e
0
0
kT
e
h
h kT
.

1
1
插页
壁上振子分布应与驻波分布相同, 因此单位体积内频率 范围在 ~ d 内的能量密度为
( )d
黑体单色辐出度为
8h c
3
3
e
Spectrum of hydrogen atoms
小型棱镜读（摄）谱仪
位移调节手轮
鼓轮调解
狭缝调节
氦氖光源
（摄谱用）
测微目镜 氦氖灯电源
小型棱镜读（摄）谱仪光路
L1
S1
L
S
*
L2
鼓轮
L2 S2
F
测微目镜 a. 摄谱仪光路 棱镜读（摄）谱仪光路图 b.读谱部分
Line Spectra
The spectrum produced by a gas or vapour (following an electric discharge) contains only a few wavelengths (colours) and some of the wavelengths are missing. This is called a Line Spectrum. Each atom has its own spectrum
Planck’s quantum theory
(2) 普朗克能量子假说
普朗克假说: 黑体是由带电的线性谐振 子所组成,这些谐振子能量不能连续变化,只 能取一些分立的值,这些分立值的是最小能量 0 的 整 数 倍 , 即 0, 0 , 20 , 30 ,…,n 0,…,称为谐振子的能级.最小能量
个普适函数的数学形式。研究黑体辐射是寻找
普适函数的有效途径．
Black body
Experimental results of black body radiation
r0
1646k 1460k
904k
793k
0
1
2
3
4
5
6
(10 cm)
4
Black body
Experimental law (a) 斯特藩—玻耳兹曼定律 黑体辐射的辐射出射度Ｒ与绝对温

2 L2
频率从
由
0～ 范围内, 有多少个振动模式?
2 c
插页
k (
2
) k k k
2 2 x 2 y
2 z
可知，允许存在的波矢数等于在波矢空间内半径为 2/c的球体内可以存在的体元数。因m1、m2、m3为 正整数，故对应1/8球体内的体元数：
V球
1 4 2 3 4 ( ) 3 , 8 3 c 3 c
2h c
2
3
e
1
h kT
.
推导
1
曲线
这个公式与实验曲线符合得很好, 在短波和 长波两种极限的情况下能过度到维恩公式和瑞利金斯公式. 并且由普朗克公式可以导出维恩位移 定律和斯特潘-玻耳兹曼定律.
Planck’s quantum theory
紫外灾难
插页
r0
瑞利-金斯线
实验曲线
维恩线

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dn
8 c
3
2
d ,
插页
普朗克认为,黑体腔器壁是不同频率的线性 谐振子,由能量子假说,这些谐振子取分立的值,
0 h ,
m 0 ,
2 0 kT 3 0 kT
按照玻耳兹曼定理,具有能量 0, 0 ,2 0 ,3 0 的振动几 率有如下关系:
1: e
0 kT