第七章 平行线的证明 7．1 为什么要证明1．体会观察、猜测得到的结论不一定正确．2．初步了解数学中推理的重要性，了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．(重点)阅读课本P162～163的内容，完成预习内容． (一)知识探究实验、观察、归纳得到的结论不一定正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明． (二)自学反馈观察右图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？请你先观察，再用直尺验证一下． 解：一样大．活动1 小组讨论例1 有人认为，对于所有自然数n ，代数式n 2－n ＋11的值都是质数．你怎么看待这个结论？ 同学们试着做一做：(1)当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2－n ＋11的值是质数还是合数？(2)是否说明：对于所有自然数n ，代数式n 2－n ＋11的值都是质数呢？与同伴讨论交流．解：(1)当n ＝0时，n 2－n ＋11＝11；当n ＝1时，n 2－n ＋11＝11；当n ＝2时，n 2－n ＋11＝13；当n ＝3时，n 2－n ＋11＝17；当n ＝4时，n 2－n ＋11＝23；当n ＝5时，n 2－n ＋11＝31.由此可知：当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2－n ＋11的值都是质数．(2)由(1)我们可以得到：当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2－n ＋11的值都是质数．但当我们继续往后计算，计算到n ＝11时，n 2－n ＋11＝121，此时为合数．所以“对于所有自然数n ，代数式n 2－n ＋11的值都是质数”这种说法是错误的．例2 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE.DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想．你能肯定你的结论对所有的△ABC 都成立吗？解：通过测量猜想DE ∥BC ，DE ＝12BC.通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个结论的正确性；但毕竟是测量结果，测量难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻找更为可信的证明． 活动2 跟踪训练1．我们知道：2×2＝4，2＋2＝4.试问：对于任意数a 与b ，是否一定有结论a ×b ＝a ＋b? 解：3×2＝6，而3＋2＝5， 因为6≠5，所以不是任意数a 与b ，都有结论a ×b ＝a ＋b.2．已知n 是正整数，你能肯定2n ＋4－2n一定是30的倍数吗？为什么？解：2n ＋4－2n ＝2n (24－1)＝15×2n，由n为正整数，得到2n为2的倍数，则15×2n为30的倍数，即2n＋4－2n一定是30的倍数．3．如图，AB∥CD，且AB＝CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，试问DF与BE的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由．解：DF∥BE，DF＝BE.理由：由DF⊥AC，BE⊥AC，可知∠DFC＝∠BEA＝90°.故DF∥BE.因为AB∥CD，所以∠A＝∠C.又因为AB＝CD，所以△DCF≌△BAE.所以DF＝BE.活动3 课堂小结1．体会观察、猜测得到的结论不一定正确．2．初步了解数学中推理的重要性．3．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．7．2 定义与命题第1课时定义与命题1．知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题，能把简单的命题写成“如果……那么……”的形式，能找到命题的条件和结论．(重点)2．会判断一个命题的真假，并且知道要判定一个命题是假命题，只需举反例．(重点)阅读课本P165～166，完成预习内容．(一)知识探究1．对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．2．判断一件事情的句子，叫做命题．3．一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成：“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的是条件；“那么”引出的是结论．4．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．(二)自学反馈1．下列语句中，属于定义的是(D)A．两点确定一条直线B．平行线的同位角相等C．两点之间线段最短D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离2．下列命题中，真命题是(D)A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝03．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)对顶角相等；(2)同位角相等．解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．(2)如果两个角是同位角，那么这两个角相等．活动1 小组讨论例1说出下列概念的定义：(1)方程；解：含有未知数的等式叫方程．(2)角平分线；解：从角的顶点出发，把这个角分成相等的角的射线，叫作角平分线．(3)一元一次方程；解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的方程叫一元一次方程．例2 判断下列语句哪些是命题？哪些不是？(1)画一个角等于已知角；(2)两直线平行，同位角相等；(3)同位角相等，两条直线平行吗？(4)鸟是动物；(5)若x －5＝0，求x的值．解：(2)(4)是命题；(1)(3)(5)不是命题．例3 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式．(1)两直线平行，同位角相等；解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”．(2)垂直于同一直线的两条直线平行；解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”．可以改写成“如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行”(3)对顶角相等．解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．例4 判断下列命题的真假，举出反例．①大于锐角的角是钝角；②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数；③如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点．解：①②③假命题．①的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角．②的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数．③的反例：如果AC＝BC，而点A，B，C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点．活动2 跟踪训练1．下列语句中，是命题的是(D)A．在同一平面内的两条直线不平行就相交B．邻补角的角平分线互相垂直C．过直线l外一点P，作直线a∥lD．在同一平面内，若a∥b，a与c相交，则b与c也相交2．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)能被2整除的数必能被4整除；(2)异号两数相加得零．解：(1)如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除．(2)如果两个数异号，那么这两个数相加得零．3．下列命题是真命题吗？若不是，请举出反例．(1)只有锐角才有余角；(2)若x2＝4，则x＝2；(3)a2＋1≥1；(4)若|a|＝－a，则a<0.解：(1)真命题．(2)假命题，如：x＝－2.(3)真命题．(4)假命题，如：a＝0.活动3 课堂小结本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？第2课时定理与证明1．理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别．2．理解证明命题的思路、书写的格式，使学生对几何的重要内容之一——推理论证，有初步的认识，从而培养思维的条理性和逻辑性．(重点)阅读课本P168～170，完成预习内容．(一)知识探究公理：它是公认的真命题，作为证明的出发点和依据．证明：演绎推理的过程称为证明．定理：经过证明的真命题称为定理．(1)公理公认的真命题称为公理．①公理是不需推理论证的真命题；②公理可以作为推理论证定理及其他命题真假的依据．常用的几个公理：①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；⑤三边对应相等的两个三角形全等；⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等．其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理．(2)定理有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理．①定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理．②定理可以作为推理论证其他命题的依据．(3)证明推理的过程叫证明．推理必须做到步步有据，条条有理．(二)自学反馈下列说法正确的是(B)A．真命题都可以作为定理B．公理不需要证明C．定理必须要证明D．证明只能根据定义、公理进行掌握真命题、公理、定理之间的联系与区别．活动1 小组讨论例已知，如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证：∠AOC＝∠BOD.证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)．活动2 跟踪训练1．请你完成定理“等角的补角相等”．解：已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角．求证：∠3＝∠4.证明：∵∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角，∴∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.2．请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”．解：已知：△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c.求证：a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a.证明：假设a＋b≤c，a＋c≤b，b＋c≤a，则有a＋b＋a＋c＋b＋c≤a＋b＋c，整理可得a＋b＋c≤0，显然与已知矛盾，假设不成立，∴三角形的任意两边之和大于第三边．活动3 课堂小结培养思维的条理性和逻辑性．7．3 平行线的判定1．会用“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性．2．学会用平行线的三个判定定理解决问题．(重点)3．经历证明的基本步骤，熟悉几何题的正确的书写格式．(难点)阅读课本P172～173，完成预习内容．(一)知识探究1．归纳：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行．2．阅读课本P172内错角相等，两直线平行的这个定理的证明过程，完成下面的填空：在内错角相等，两直线平行的这个定理的证明过程中关键是用到了：“①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行”这两个知识．3．归纳：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行．4．阅读课本P172“同旁内角互补，两直线平行”定理的证明过程，完成下面的填空：在同旁内角互补，两直线平行的这个定理的证明过程中关键是用到了：“①平角的定义；②等式的性质；③同位角相等，两直线平行”这三个知识．(二)自学反馈1．请运用内错角相等，两直线平行这个定理完成以下证明：已知：如图，∠1＝∠2，且BD平分∠ABC.求证：AB∥CD.证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠2.∵∠1＝∠2，∴∠ABD＝∠1.∴AB∥CD.2．请运用同旁内角互补，两直线平行这个定理完成以下证明：已知：如图，AD是一条直线，∠1＝65°，∠2＝115°.求证：BE∥CF.证明：方法一：∵∠1＋∠DBE＝180°，∠1＝65°，∴∠DBF＝115°.又∵∠2＝115°，∴∠2＝∠DBE.∴BE∥CF.方法二：∵∠1＋∠DBE＝180°，∠2＋∠BCE＝180°，∠1＝65°，∠2＝115°，∴∠DBE＋∠BCF＝180°.∴BE∥CF.同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是判断两直线平行的基本方法．活动1 小组讨论例1 工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB 和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．解：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．例2 如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据内错角相等，两直线平行．解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．例3 如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？合格(填“合格”或“不合格”)．解析：∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD.活动2 跟踪训练1．如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：答案不唯一，如：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°，使a∥b.2．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：∵∠DAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，∴∠DAC＝2∠B.又∵AE平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAE.∴∠DAE＝∠B.∴AE∥BC.3．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC.活动3 课堂小结学会用平行线的三个判定定理解决问题．7．4 平行线的性质1．认识平行线的三条性质定理，能熟练运用这三条定理进行几何证明．(重点)2．进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．3．了解判定定理和性质定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程．阅读课本P175～177，完成预习内容．(一)知识探究1．定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等．2．定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等．3．定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简述为：两直线平行，同旁内角互补．4．定理：平行于同一条直线的两条直线平行．(二)自学反馈1．某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，则∠FDC的度数是(B) A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图所示，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB，若∠AEC＝100°，则∠D等于(B)A．70°B．80°C．90°D．100°3．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1＝25°，则∠2的度数是50°．活动1 小组讨论例已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角．求证：b∥c.证明：∵b∥a(已知)，∴∠2＝∠1(两直线平行，同位角相等)．∵c∥a(已知)，∴∠3＝∠1(两直线平行，同位角相等)．∴∠2＝∠3(等量代换)．∴b∥c(同位角相等，两直线平行)．活动2 跟踪训练1．已知AB ∥DE ，∠B ＝60°，且CM 平分∠DCB ，CM ⊥CN ，垂足为C ，求∠NCE 的度数．解：∵AB ∥DE ，∠B ＝60°， ∴∠BCD ＝120°. ∵CM 平分∠DCB ， ∴∠DCM ＝12∠DCB ＝60°.∵CM ⊥CN ， ∴∠MCN ＝90°.∴∠DCM ＋∠NCE ＝90°.∴∠NCE ＝90°－∠DCM ＝30°.2．如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：∠A ＝∠F.证明：∵∠1＝∠2， ∴BD ∥CE.∴∠C ＋∠CBD ＝180°. ∵∠C ＝∠D ，∴∠D ＋∠CBD ＝180°. ∴AC ∥DF. ∴∠A ＝∠F.活动3 课堂小结熟练运用平行线的三条性质定理进行几何证明．7．5 三角形内角和定理第1课时 三角形内角和定理的证明1．会证明三角形的内角和定理．2．会运用三角形内角和定理解题．(重点)阅读课本P178～179，完成预习内容． (一)知识探究三角形内角和定理：三角形内角和等于180°． (二)自学反馈阅读课本P178，课本中给了我们证明三角形内角和定理的方法，下面给出另外几种方法： 证法1：如图1，过点A 作EF ∥BC ，则∠1＝∠B ，∠2＝∠C ． ∵∠1＋∠BAC ＋∠2＝180°， ∴∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°．图1 图2 图3证法2：如图2，在BC 边上任取一点D ，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，作DF ∥AC 交AB 于F. ∵DE ∥AB ，∴∠1＝∠B ，∠2＝∠4． ∵DF ∥AC ，∴∠3＝∠C ，∠A ＝∠4． ∴∠2＝∠A.又∵∠1＋∠2＋∠3＝180°， ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°．证法3：如图3，过点A 作AD ∥BC. ∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠C ，∠DAB ＋∠B ＝180°.∴∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝∠BAC ＋∠B ＋∠1＝∠BAD ＋∠B ＝180°.活动1 小组讨论例 如图，在△ABC 中，∠B ＝38°，∠C ＝62°.AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．解：在△ABC 中，∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝180°(三角形内角和定理)． ∵∠B ＝38°，∠C ＝62°(已知)，∴∠BAC ＝180°－38°－62°＝80°(等式的性质)． ∵AD 平分∠BAC(已知)．∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°(角平分线的定义)．在△ADB 中，∠B ＋∠BAD ＋∠ADB ＝180°(三角形内角和定理)． ∵∠B ＝38°(已知)，∠BAD ＝40°(已证)，∴∠ADB ＝180°－38°－40°＝102°(等式的性质)．活动2 跟踪训练1．在一个三角形中，下列说法错误的是(D)A．可以有一个锐角和一个钝角B．可以有两个锐角C．可以有一个锐角和一个直角D．可以有两个钝角2．已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为(C)A．60°B．75° C．90° D．120°3．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，∠A＝50°，∠C＝70°，那么∠ADE的度数是60°．4．如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．解：在△ABC中，∵∠B＝65°，∠C＝45°，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°，AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠CAE＝35°.又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90°.∵在△ABD中∠BAD＝90°－∠B＝25°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°.活动3 课堂小结会运用三角形内角和定理计算三角形中的角度．第2课时 三角形的外角1．探究三角形外角定理及其证明．(重点) 2．学会运用三角形外角的定理解题．(难点)阅读课本P181～182，完成预习内容． (一)知识探究问题：请在下图中找出△ABC 的所有外角，一个三角形有几个外角？思考：以上问题中，三角形的一个外角与三角形的内角有什么关系呢？ 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．(二)自学反馈求出图中的x 的值．解：由图知x ＋80＝x ＋x ＋20. 解得x ＝60.活动1 小组讨论例1 已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AD 平分外角∠EAC. 求证：AD ∥BC.分析：要证明AD ∥BC ，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”．证明：∵∠EAC ＝∠B ＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)，∠B ＝∠C(已知)， ∴∠C ＝12∠EAC(等式的性质)．∵AD 平分∠EAC(已知)， ∴∠DAC ＝12∠EAC(角平分线的定义)． ∴∠DAC ＝∠C(等量代换)．∴AD ∥BC(内错角相等，两直线平行)．例2 已知：如图P 是△ABC 内一点，连接PB ，PC. 求证：∠BPC ＞∠A.证明：延长BP ，交AC 于点D.∵∠BPC 是△PDC 的一个外角(外角的定义)，∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，∴∠PDC＞∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∴∠BPC＞∠A.活动2 跟踪训练1．如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠ABD＝120°，则∠C等于(B )A．40°B．50°C．60°D．70°2．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．都有可能3．如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为(D)A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠34．如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为70°．活动3 课堂小结1．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．。