• 应力张量的两个脚标常被缩减为一个脚标，且可用行 矩阵和列矩阵来表示
法向应力： x11 x1
x22 x2
x33 x3
切向应力： x23 x32 x4
x31 x13 x5
x12 x21 x6
晶体的弹性
x11 x12 x13 x1 x6 x5
x13 x22 x23 x6 x2 x4 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x13 x23 x33 x5 x4 x3
x2
1 E
2
(3
1 )
x3
1 E
3
(1
2 )
晶体的弹性
x4 2 s11 s12 4
x4
1 G
4
x5 2 s11 s12 5
x5
1 G
5
x6 2 s11 s12 6
x6
1 G
6
各式意义、内 涵
压电体
➢ 对于不存在对称中心的极性晶体，加在晶体上的外力除了使晶体发 生形变外，还将改变晶体的极化状态，在晶体内建立电场，这种由 于机械力的作用而使介质发生极化的现象称正压电效应；
x1
1 2 x6
1 2
x5
x13 x13
x22 x23
x23 x33
1 2
x6
1
x2 1
1 2
x
4
2
x5
2 x4
x3
切向应变引入系数1/2是为了使虎克定律具有较简单的形式
晶体的弹性
➢ 晶体弹性及胡克定理
由虎克定律，对于足够小的形变，应力与应变成正比，对于各 向异性的晶体，应力和应变都是二阶对称张量，把这两个二阶张量 联系在一起的物理量是一个四阶张量：
xij sijkl X kl
sijkl 称弹性柔顺常数
晶体的弹性
根据脚标缩减，可得广义胡克定理：
x s
λ、μ=1，2，3，4，5，6
x1 s11 s12 s13 s14 s15 s16 1
x2 s21
s26 2
x3
s31
s36
3
x4 s41
s46 4
➢ 一些定义
晶体的弹性
E 1 s11
杨氏模量
G
1
2(s11 s12 )
切变模量
s12
s11
泊松参数
晶体的弹性
➢ 各向同性物体应变——应力关系：
x1 s111 s12 2 s12 3
x1
1 E
1
(2
3 )
x2 s12 1 s11 2 s12 3 x3 s12 1 s12 2 s113
x'11 0 0
0 x'22 0
0
0
x'33
三轴法向应力习惯上把张应力取正，压应力取负
晶体的弹性
例如物体静水压力
p 0 0 0 p 0 0 0 p
双轴应力
x11 0 0 0 x22 0 0 0 0
晶体的弹性
平轴应力
x11 0 0 0 0 0 0 0 0
对于x11 x22 的双轴应力，把坐标绕x3轴旋转450，
x11 x13 x13
x12 x22 x23
x13
x1' 1
x23 x33
0
0
0 x2' 2 0
0
0
x3' 3
缩减脚标：
x11 x1
x22 x2 x33 x3
x23 x23 x4 ; x31 x13 x5 ; x21 x12 x6
晶体的弹性
x11 x12 x13
x5
s51
s56
5
x6 s61 s62 s63 s64 s65 s66 6
晶体的弹性
广义虎克定律另一种形式：
ij cijkl xkl
cijkl 称弹性劲度常数
c x （λ、μ=1，2，3，4，5，6）
晶体的弹性
➢ λ和μ均为1，2或3
sijkl s s11 s1111 s22 s2222
其只有12个非零分量，且只有2个独立分量：
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12
s12
s11
0
0
0
0 0 0 s44 0 0
0
0
0
0
s11
0
0 0 0 0 0 s44
s44 s55 s66 2(s11 s12 )
s12 s13 s23
s33 s3333
➢ λ和μ为4，5或6
2sijkl s
s41 2s2341 s41 2s3211 s41 s2311 s3211
➢ λ和μ均为4，5或6
4sijkl s
s44 4s2323 4s2332 4s3223 4s3232
晶体的弹性
对于不同晶系，s 阵有不同的独立元个数，对各向同性的材料，
x1
晶体的弹性
e12
u1 x2
u2 x1
u2 x3
u1
x1
x2
x2 x1
晶体的弹性
➢ 任何一个二阶张量均可解为一个对称和一个 反对称的张量之和
eij xij yij
对称张量
xij
1 2
(eij
e ji )
x ji
反对称张量
yij
1 2 (eij
e ji ) y ji
晶体的弹性
由于应变是一个对称张量，可以适当选择坐标系使 其与应变主轴方向一致，使其对角化
可使应力状态相当于一个单纯剪切状态
晶体的弹性
坐标变换矩阵 张量变换：
2 2 0
2
2
aij
2
2 0
2
2 0
0 1
纯剪切模式
2 2 0
2
2
2
2 0
2 2
2 0
x 0 0 1 0
0 x 0
0 0 0
Байду номын сангаас
2 2
2 0
2 0
2 2
2 0
0
0 x
1 0
x 0 0 0 0 0
晶体的弹性
应力张量的常用表达形式
晶体的弹性
➢ 应变张量
应变是描述物体在应力作用下变形情况的物理量，以单位长度 所产生的线度变化来衡量，应变是无量纲的，由于弹性位移的方向 与受力面的法向不一定相同，应变也是一个二阶张量，共有9个分量
eij
ui x j
e11
e12
e13
e12 e22 e23
e13
e23
e33
晶体的弹性
e11
u1 x1
x3
u1 x1
dx1
x2 x1
e22
u2 x2
晶体的弹性
x3
x2
x1
u2 x2
dx2
e33
u3 x3
晶体的弹性
x3
x1
u3 x3
dx3
x2
e23
u2 x3
u3 x2
u2 x3
x1
x3
x2
u3 x2
晶体的弹性
e13
u1 x3
u3 x1
x3
u1 x3
x2
u3
x1
晶体的压电性质
晶体的弹性与压电体
晶体的弹性
➢ 应力张量
x11 x12 x13
xij x12 x22 x23
x13
x23
x33
保证力矩为零
二阶应力张量是对称张量
晶体的弹性
应力张量可以通过坐标变换，把坐标轴变换到应力张 量的主轴方向，使得受力的单位立方体上所有切向应力为 零，只有法向应力