x2 x1
u 3 x 2
晶体的弹性
u1 u3 e13 x3 x1
x3
u1 x3
x1
u 3 x1
x2
晶体的弹性
u1 u2 e12 x2 x1
u 2 x1
x3
u1 x 2
x2 x1
晶体的弹性
任何一个二阶张量均可解为一个对称和一个
反对称的张量之和
X x
思考？ 二次压电效应
E
恒定电场（短路条件）下的弹性常数：s ijkl 称短路弹性常数
D
E表恒电场
恒定电位移（开路条件）下的弹性常数 ：s ijkl 称开路弹性常数 D表恒电位移
s s ？
D E
x1 s11 s12 x2 s21 x s 3 31 x4 s41 x s 5 51 x s 6 61 s62
λ、μ=1，2，3，4，5，6
s13 s14 s15 s16 1 s26 2 s36 3 s46 4 s56 5 s66 6
λ和μ为4，5或6
2sijkl s
s 41 2s 2341
s 41 2s3211 s41 s2311 s3211
λ和μ均为4，5或6
4sijkl s
s44 4s2323 4s2332 4s3223 4s3232
晶体的弹性
s 阵有不同的独立元个数，对各向同性的材料， 对于不同晶系，
晶体的弹性
• 应力张量的两个脚标常被缩减为一个脚标，且可用行 矩阵和列矩阵来表示
法向应力：
x11 x1
x22 x2
x33 x3
切向应力：
x23 x32 x4
x31 x13 x5
x12 x21 x6
晶体的弹性
x11 x13 x 13 x12 x 22 x 23 x13 x1 x 23 x6 x x33 5 x6 x2 x4 x5 x 4 x1 x3
在晶体上加上外电场，改变共极化状态，晶体的形状也将发生变化，
这是逆压电效应。
压电体
压电效应取决于晶体结构的对称性，在晶体32种点群中，具有对称中 心的11个点群不会有压电效应，在21个不具对称中心的点群中，除立 方系432点群因对称性很高，压电效应退化，只有20个点群可能产生压
电效应
压电体
张量变换：
纯剪切模式

2 2 2 2 0
2 2 2 2 0
2 0 x 0 0 2 2 0 0 x 0 0 0 0 2 1 0
2 2 2 2 0
0 0 x 0 0 x 0 0 1 0 0 0
晶体的压电性质
晶体的弹性与压电体
晶体的弹性
应力张量
x11 xij x12 x 13
保证力矩为零
x12 x22 x23
x13 x23 x33
二阶应力张量是对称张量
晶体的弹性
应力张量可以通过坐标变换，把坐标轴变换到应力张 量的主轴方向，使得受力的单位立方体上所有切向应力为 零，只有法向应力
x4 2s11 s12 4
x5 2s11 s12 5 x6 24 4 G
1 x5 5 G
1 x6 6 G
压电体
对于不存在对称中心的极性晶体，加在晶体上的外力除了使晶体发
生形变外，还将改变晶体的极化状态，在晶体内建立电场，这种由 于机械力的作用而使介质发生极化的现象称正压电效应；
eij xij yij
对称张量
1 xij (eij e ji ) x ji 2
反对称张量
1 yij (eij e ji ) y ji 2
晶体的弹性
由于应变是一个对称张量，可以适当选择坐标系使
其与应变主轴方向一致，使其对角化
' x11 0 0
其只有12个非零分量，且只有2个独立分量：
s11 s12 s 12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s 44 0 0
0 0 0 0 s11 0
0 0 s 44 0 0 0
x2
x3
x4
x5
x6
应力张量的常用表达形式
晶体的弹性
应变张量
应变是描述物体在应力作用下变形情况的物理量，以单位长度 所产生的线度变化来衡量，应变是无量纲的，由于弹性位移的方向 与受力面的法向不一定相同，应变也是一个二阶张量，共有9个分量
e11 e12 e13 ui eij e12 e22 e23 x j e e e 13 23 33
s44 s55 s66 2(s11 s12 )
s12 s13 s 23
晶体的弹性
一些定义
E 1 s11
1 2( s11 s12 )
杨氏模量
G
切变模量
s12 s11
泊松参数
晶体的弹性
各向同性物体应变——应力关系：
x1 s111 s12 2 s12 3
晶体的弹性
x11 x13 x 13 x12 x 22 x 23 x13 x 23 x33
x1 1 x6 2 1 x5 2 1 x6 2 x2 1 x4 2 1 x5 2 1 x4 2 x3
切向应变引入系数1/2是为了使虎克定律具有较简单的形式
压电效应是由于应力X和应变x等机械量与电场强度E和电位移D等电气 量之间的耦合效应造成的，这种机电耦合效应带有明显的方向性；
在考虑压电晶体的介电常数时，还须注意晶体所处的机械边界条件： 恒应力下的介电常数为自由介电常数： 恒应力下的介电常数为自由介电常数：
X
x
X表恒应力； x表恒应变 ；
0 0 0
晶体的弹性
平轴应力
x11 0 0 0 0 0 0 0 0
对于x11 x22 的双轴应力，把坐标绕x3轴旋转450， 可使应力状态相当于一个单纯剪切状态
晶体的弹性
坐标变换矩阵
aij 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 1
x'11 0 0 x'22 0 0
0 0 x'33
三轴法向应力习惯上把张应力取正，压应力取负
晶体的弹性
例如物体静水压力
0 p 0 0 p 0 0 0 p
双轴应力
x11 0 0
0 x 22 0
x2 s12 1 s11 2 s12 3
1 x1 1 ( 2 3 ) E
x2
1 2 ( 3 1 ) E
x3 s12 1 s12 2 s11 3
1 x3 3 (1 2 ) E
晶体的弹性
晶体的弹性
u1 e11 x1
x3
u1 dx1 x1
x2 x1
晶体的弹性
u 2 e22 x 2
x3
x2 x1
u 2 dx2 x 2
晶体的弹性
u 3 e33 x3
x3
u3 dx3 x3
x2 x1
u2 u3 e23 x3 x2
u 2 x3
x3
s63 s64
s65
晶体的弹性
广义虎克定律另一种形式：
ij cijkl xkl
cijkl 称弹性劲度常数
c x
（λ、μ=1，2，3，4，5，6）
晶体的弹性
λ和μ均为1，2或3
s ijkl s
s11 s1111
s22 s2222
s33 s3333
晶体的弹性
晶体弹性及胡克定理
由虎克定律，对于足够小的形变，应力与应变成正比，对于各 向异性的晶体，应力和应变都是二阶对称张量，把这两个二阶张量 联系在一起的物理量是一个四阶张量：
xij sijkl X kl
sijkl 称弹性柔顺常数
晶体的弹性
根据脚标缩减，可得广义胡克定理：
x s
x11 x13 x 13
x12 x 22 x 23
x13 x 23 x33
0 ' x 22 0
0 0 ' x33
缩减脚标：
x22 x2 x33 x3 x11 x1 x23 x23 x4 ; x31 x13 x5 ; x21 x12 x6