∇ϕ = ∇ ⋅ (ϕ I ) r r r r r r ∇( f ⋅ g ) = ∇f ⋅ g + ∇g ⋅ f rr r r r r ∇ ⋅ ( fg ) = (∇ ⋅ f ) g + ( f ⋅ ∇) g
1-16 1-17 1-18
可见
在张量空间梯度和散度可以互相转换
引入二阶张量可以简化一些矢量公式
旋度
r r r ˆ + (∇ × A′ ˆ ′ )x ′ )z ˆ ∇ × A = (∇ × Ax + ∇ × ) ( y A y z r r r r r r ∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Az ∂Az ∂Ay ˆ( ˆ( ˆ( )+ y )+z ) =x − − − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
v
r
s
∫ dv∇ ⋅ A = ∫ ds ⋅ A
v s
r
1-20 1-22 1-24
r
r ∫ dv∇ϕ = ∫ dsϕ
v s
s
∫ dv∇ × A = ∫ ds × A
v
r
r rr ∫ dv∇f = ∫ ds f
v s
s
2
二维变换
∫
s s
r r r r ds ⋅ ∇ × f = dl ⋅ f
∫
l
1-25 1-26 1-27
所以 并矢既可以用矢量表示也可用三阶矩阵表示 但并不是任意三阶矩阵都表示并矢 因为并矢 只有 6 个独立量 而三阶矩阵有 9 个独立量 ˆx ˆ+y ˆy ˆ+z ˆz ˆ 称为单位张量 对应单位矩阵 I=x r r 1-11 I ⋅a =a
!
并矢运算规则 1. 点乘 2. 3. 4. 叉乘 双重点乘 双重叉乘 r r A⋅a ≠ a ⋅ A
1-12 1-13 1-14 1-15
注意一般情况下 ! 微分运算规则 梯度
r r 如果 A ⋅ a = a ⋅ A
r ˆ + (∇f y ) y ˆ + (∇f z ) z ˆ ∇f = (∇f x ) x
散度
r r r r r r ∂Ax ∂Ay ∂Az ˆ + (∇ ⋅ A′ ˆ + (∇ ⋅ A′ ˆ= ∇ ⋅ A = (∇ ⋅ A′ + + x )x y )y z )z ∂x ∂y ∂z
1-29
∇f (R ) =
df ˆ R = −∇ ′f (R ) dR
1-30
其中
∇ ′ 表示对源点求梯度 特别有
ˆ ∇R = R 1 1 ˆ ∇ =− 2 R R R v v v ∇ a ⋅ R = a 其中
1-31 1-32
故
r $ + ay y $ + az z $ [ 1-33 证明 ] 设 a = a x x 直角坐标 则 v v a ⋅ R = a x ( x − x ′) + a y ( y − y ′) + a z ( z − z ′) v r v $ + ay y $ + az z $=a ∇ a ⋅ R = ax x
源 点
r r r R = r − r′
场 点
r r′ r r
O
图 1-1 矢径的定义
四
r 矢径 R
在电磁场理论中许多问题都涉及矢径 R 及其函数
r
因此
研究矢径 R 及其函数的梯度
r
散度和旋
1-4
高等电磁场讲义 • 第 1 讲
度非常有用 其中
r $ 表示 R 方向的单位矢 R
如图 1-1
矢径 R 定义为
1-1
在几种常用坐标系中
h1
h2
h3 的值如表 1-1 所示
表 1-1
h1
直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 1 1 1
h2
h3
1 1
ρ
r
1
r sin θ
函数 f 的梯度
r ˆ1 + f 2 v ˆ2 + f 3 v ˆ3 的散度和旋度定义如下 矢量函数 f = f1v 1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f ˆ1 ˆ2 ˆ3 ∇f = v +v +v h1 ∂v1 h2 ∂v 2 h3 ∂v3 r ∂ ∂ ∂ 1 [ (h2 h3 f1 ) + (h1 h3 f 2 ) + (h1 h2 f 3 )] ∇⋅ f = h1 h2 h3 ∂v1 ∂v 2 ∂v 3 r ∇× f = 1 h1 h2 h3 ˆ1 h1v ∂ ∂v1 h1 f1 ˆ 2 h3 v ˆ3 h2 v ∂ ∂ ∂v 2 ∂v 3 h2 f 2 h3 f 3
rr rr r r r r (ab ) ⋅ (c d ) = a (b ⋅ c )d rr rr r r r r (ab ) × (c d ) = a (b × c )d rr rr r r r r (ab ) : (c d ) = (a ⋅ c )(b ⋅ d ) rr rr r r r r (ab ) × × (c d ) = (a × c )(b × d ) 则称 A 对称
1-5 1-6 1-7
! 利用 得
r r v v v v ∇( f ⋅ g ) = ∇( f ⋅ g c ) + ∇ ( f c ⋅ g )
r r v v r r ∇( f ⋅ g c ) = g × (∇ × f ) + ( g ⋅ ∇) f r r v v r r ∇( f c ⋅ g ) = f × (∇ × g ) + ( f ⋅ ∇) g v v v v v v v v v v 则 ∇( f ⋅ g ) = f × (∇ × g ) + g × (∇ × f ) + ( f ⋅ ∇) g + ( g ⋅ ∇) f (1-10) 在上述推导中 下标 c 表示进行 ∇ 算子运算时保持常量 总结出 ∇ 算子的运算原则 利用矢量公式 1 2 ∇ 算子始终在作用函数的左边 非作用函数的右边
第一部分
第1 讲 第2 讲 第3 讲 第4 讲 第5讲 场论基础 Maxwell 方程 媒质本构关系 电磁能量 电磁动量与张力
高等电磁场讲义 • 第 1 讲
第1讲
场论基础
场论是电磁场分析的基础 在本讲中 简要地介绍了 ∇ 算子 并矢的定义 性质和运算规则 概 括性地给出了积分变换的统一形式 最后 讨论了电磁场理论中常用的矢径的性质 为今后的理论分析 奠定基础
高等电磁场阅读资料
哈工大电子与通信工程系 2003
前言 本阅读资料共分四部分，总计20讲。主要供电磁场与微波技术学科 研究生课外阅读。
第一部分包括： 第1 讲 场论基础 第2 讲 Maxwell 方程 第3 讲 媒质本构关系 第4 讲 电磁能量 第5 讲 电磁动量与张力 第二部分包括： 第6 讲 辅助位函数 第7 讲 无源区域电磁场量的表示 第8 讲 唯一性定理 第9 讲 广义Maxwell 方程和互易定理 第10讲 等效原理与感应定理 第三部分包括： 第11 讲 镜像原理(I) 第12 讲 镜像原理理(II) 第13 章 分离变量法 第14 章 本征函数展开法 第15 讲 Green 函数法I 第四部分包括： 第16 讲 Green 函数法法(II) 第17 讲 并矢Green 函数 第18 讲 Einstein 相对论 第19 讲 电磁场量的Lorentz 变换换(I) 第20 讲 电磁场量的Lorentz 变换换(II)
一
∇ 算子 ∇ 算子与微分形式的 Maxwell 方程密切相关 在曲线坐标中
其中
$1 v
$2 v
ˆ3 分别是坐标轴 v1 v
v2
∇ 算子定义为 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ ˆ1 ˆ2 ˆ3 ∇=v +v +v h1 ∂v1 h2 ∂ v 2 h3 ∂v3 v3 的单位矢 h1 h2 h3 为坐标系的拉梅系数
ˆ x v ˆ + fyy ˆ + fzz ˆ ˆ = fx f y fz y f = fxx z ˆ
[
]
,
ˆ x v ˆ + gyy ˆ + gzz ˆ ˆ = gx g y gz y g = gxx z ˆ
[
]
则
[
]
1-2
高等电磁场讲义 • 第 1 讲
式中
r r r t t t t r t r t r ′ = fg x , A ′ ′ = fg z , Ax = f x g , A y = f y g , Az = f z g Ax y = fg y , Az
r
r r r ˆ = (x − x ′)x ˆ + ( y − y ′)y ˆ + (z − z ′)z ˆ R = r − r ′ = RR
1-28
$, y $, z $ 分别表示直角坐标的 x, y, z 轴的单位矢 x
r 表示矢径 R 的模
! 梯度
r 2 2 2 R = R = ( x − x ′) + ( y − y ′ ) + ( z − z ′ )
1-2 1-3
1-4
[讨论] 可以看出 ∇ 算子具有算子和矢量双重性 梯度 ∇f 可以看成是矢量算子 ∇ 与函数 f 的乘 积 在直角坐标系 散度 ∇ ⋅ f 和旋度 ∇ × f 可看成矢量算子 ∇ 与矢量函数 f 的点乘和叉乘 但在其他 坐标系则不然
r
r
r
1-1
高等电磁场讲义 • 第 1 讲
!
下面给出一些 ∇ 算子常用运算公式及其推导过程 ∇(ϕφ ) = ∇ (ϕφ c ) + ∇(ϕ cφ ) = (∇ϕ )φ + ϕ (∇φ ) ! r r r r r ! ∇ ⋅ (ϕf ) = ∇ ⋅ (ϕf c ) + ∇ ⋅ (ϕ c f ) = (∇ϕ ) ⋅ f + ϕ (∇ ⋅ f ) r r r r r ! ∇ × (ϕf ) = ∇ × (ϕf c ) + ∇ × (ϕ c f ) = (∇ϕ ) × f + ϕ (∇ × f ) r r r r r r ! ∇ ⋅ ( f × g) = ∇ ⋅ ( f × gc ) + ∇ ⋅ ( fc × g) r r r r r r r r r 利用 a ⋅ (b × c ) = b ⋅ (c × a ) = c ⋅ (a × b ) r r r r r r 得 ∇ ⋅ ( f × g ) = (∇ × f ) ⋅ g − f ⋅ (∇ × g ) 1-8 r r v v v r ∇ × ( f × g) = ∇ × ( f × gc ) + ∇ × ( fc × g) r v v v v v r v v r r r r v v 利用 a × (b × c ) = b ( a ⋅ c ) − (b ⋅ a )c = (c ⋅ a )b − c ( a ⋅ b ) r r v v v r 得 ∇ × ( f × g c ) = ( g ⋅ ∇) f − g (∇ ⋅ f ) r r v v r v ∇ × ( f c × g ) = f (∇ ⋅ g ) − ( f ⋅ ∇) g r r v v v v v r v v 1-9 则 ∇ × ( f × g ) = f (∇ ⋅ g ) − ( f ⋅ ∇) g + ( g ⋅ ∇) f − g (∇ ⋅ f )