d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积 增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部 分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的 近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得 增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近 似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，
(tan x x sec2 x cos x)dx.
例3 设 y x2 ln x，求dy.
解 dy d(x2 ln x) (x2 ln x)dx (2x ln x x2 1)dx x (2x ln x x)dx.
四、微分形式的不变性
设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x))也 可微，此时有 dy yxdx f (u) g(x)dx f (u)du.
定义 设y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，x0 x属于 该邻域.若
y f (x0 x) f (x0 ) A x o(x), 其中A与 x无关，而o(x) 是关于 x 的高阶无穷小， 则称y=f(x)在x0 可微，而 A x 称为y=f(x)在点x0 处的 微分，记为
dy |xx0 , 或df |xx0 ,
如果不引入中间变量u，则可 dy 4(x3 1)3 d(x3 1) 4(x3 1)3 3x2dx 12x2 (x3 1)3 dx.
例5 设 y exsin x，求dy.
解 dy exsin xd(xsin x) exsin x (sin x x cos x)dx.
当然，也可以直接用公式 dy yxdx 来求微分， 即求出 yx 后再乘以dx得到dy.
d(x tan x) d(sin x) tan x dx xd(tan x) cos xdx tan x dx x sec2 x dx cos x dx (tan x x sec2 x cos x)dx.
注意，当然也可以直接用公式dy ydx求微分. d(x tan x sin x) (x tan x sin x)dx
二、微分的基本公式
微分的基本公式： dc 0 (c为常数).
dxa axa1dx(a为常数) .
da x a xln a dx (a 0,a 1).
de x exdx.
d
log a
x
1 x
1 ln a
dx
d ln x 1 dx. x
dsin x cos xdx .
d cos x sin xdx.
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体 积增量
V (x0 x)3 x03 3x02 x (3x02 (x)2 (x)3 ). 函数增量 V分成两部分，一部分是 x 的线性部分 3x02 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
3x0 (x)2 (x)3 o(x).
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc2 xdx.
d sec x sec x tan xdx.
d csc x csc xcot xdx.
d arsin x 1 dx. 1 x2
d arccos x 1 dx. 1 x2
d
arctan
x
1 1 x2
即
dy |xx0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 dy f (x)dx .
由于 f (x) dy ，即函数的导数等于函数的微 dx
分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
微分dy的几何意义，就是曲线y=f(x)在点M 0 处 的切线的纵坐标的增量.
dx
.
1 d arccot x dx .
1 x2
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 u v, u , v可微， 且有
d(u v) du dv, d(uv) vdu udv.
证 d(u v) (u v)dx (u v)dx udx vdx du dv.
可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变 量，总有 dy f (u)du ，这就是微分形式的不变性.利 用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.
例4 设 y (x3 1)4 ,求dy. 解 令y u4 ,u x3 1，则
dy 4u3du 4u3 3x2dx 12x2 (x3 1)3 dx.
udv .
例1
设
y
x x2
1 ，求dy. 1
解
dy
d(
x x2
1) 1
(x2
1)d(x
1) (x2
(x 1)d(x2 1)2
1)
(x2
1)dx (x 1) (x2 1)2
2xdx
1 (x
2
2
x x2 1)2
dx.
例2 设y=x tan x－sin x，求dy. 解 dy d(x tan x sin x)