曲面可通过以下的生成方式产生：
1. 通过一条或多条曲线构造曲面

线性拉伸面或柱状面

直纹面

旋转面

扫成面

Coons曲面
2. 由位于矩形网格上的一组输入点（称 为控制顶点）构造曲面。
Bezier曲面
B样条曲面
3. 通过插值其他曲面构造曲面
圆角曲面（Fillet Surface）：它为两个曲面 间的过渡曲面，性质为B样条曲面
正则集合运算
正则算子r：先求内部，再求闭包。
删除无效实体所有的悬挂面、边和孤立的点， 以得到有效的实体。 因此，更严格地讲，CSG法是由简单的正 则集经过正则集合运算构造复杂实体的方法。 显然，CSG法所构造的实体是有效实体。
CSG树
CSG法所构造的实体可以用一棵二叉 树来描述。 Root:
Final Object
几何建模
人造物体：是规则的，基于欧氏几何的几何模型能够较好地 描述物体的几何信息和拓扑信息。 自然对象：树木、花草、河流、山川、火焰、云雾等，采用 传统的几何模型很难描述，基于分形几何的建模方法目前只能 定性描述自然对象，精确描述自然对象的建模方法尚处于发展 之中。
几何模型描述物体的几何信息和拓扑信息。 几何信息是指物体在欧氏空间中的形状、位置和大小； 拓扑信息是指物体各分量的数目及其相互间的连接关系。
NonTerminal Nodes: Boolean Operators or Motions Leaf Nodes: Primitives or Transformation Data
A Wrench
CSG Binary Tree
CSG法的优点与缺点
优点： 用CSG法表示复杂实体非常简明，可惟一地定义物体。 CSG法所表示的实体的有效性是由体素的有效性和集合运算 的正则性自动得到保证。 CSG树描述物体非常紧凑，体素种类越多， CSG法所能定 义的实体的覆盖域越宽。 在大多数实体造型系统中作为用户输入手段。 缺点： CSG树只定义了物体的构成体素及构造方式，没有反映物体 的面、边、顶点等有关信息，因此这种数据结构称为“不可 计算的”。 当真正进行物体的拼合运算并最终显示物体时，还需将CSG 树数据结构转换为边界表示的数据结构。
旋转扫描法
广义扫描法
立方体网格模型
•立体网络模型表示实体的方法 •将包含实体的空间分割成均匀的小立方体，建立一个三维 数组，使数组中的每一个元素p[i][j][k]与(i,j,k)的小立 方体相对应。当该立方体被物体所占据时， p[i][j][k]的 值为1，否则为0。
•优点
•可以表示任何物体 •很容易实现实体的集合运算以及体积计算 •缺点 •不是一种精确的表示法，近似程度完全取决于分割的精度， 与几何体的复杂程度无关 •需要大量的存储空间
CSG树
－
以上说明了几何实体构造法构造实 体的基本方法。但需要指出的是， 体素经集合论中的交、并、差运算 后可能产生客观上并不存在的实体。 下面以二维情况为例加以说明。
正则形体
对于任一形体，如果它是3维欧氏空间中非 空、有界的封闭子集，且其边界是二维流 形（即该形体是连通的），我们称该形体 为正则形体，否则称为非正则形体。
线框模型
用顶点和棱边来描述 物体（适用于易于用数学
模型描述的物体）
例. 立方体的线框模型及其计算机表 示
线框模型
棱线表 顶点表
提供了定义形体的点、线的几何信息，以及点与 边之间连接关系的拓扑信息。
2. 线框模型的优缺点 优点:

构造模型时操作简便，处理速度快且占 用内存少。 特别适用于设计构思、建立 设计图的总体空间位置关系及图形的动态 交互显示。
(2)在实用造型系统中，边界表示法已 逐渐成为实体的主要表示形式。这是 因为： 用CSG法构造复杂的实体存在局限 性。 边界表示法采用了自由曲面造型技 术，能够构造像飞机、汽车那样具有 复杂外形的实体，用CSG法的体素拼 合则难以做到。
从CSG模型通过计算可直接转换成边界表 示模型，但反之不然。尚没有从边界表示 模型到CSG模型的一般转换算法，因此两 种表示法不可交换。 商业化造型系统的发展趋势是将线框表 示、曲面表示和实体表示统一在一个统一 框架中，用户根据实际问题的需要选取合 适的技术。而由边界表示转换为线框模型 非常简单。
边界表示法 （B－rep）
•边界表示法
•通过描述三维物体的边界来表 示的方法。
•边界
•内部点与外部点的分界面
•体素表示
•边界的拓扑信息 •边界的几何信息
•多面体边界的拓扑信息描述方式（9种）
数据结构中保存的拓扑关系 越多，对多面体的操作越方 便，但是占用的存储空间也 就越大。
左图为：顶点、棱边、表面之间 的拓扑关系
为了确定表面的哪一侧存在实体，常用的方法 是用有向棱边的右手法则确定所在面的外法线方 向，例如规定正向指向体外。
表面F
1
2 3 4
棱线号
1 2 3 4
-5 -6 -7 -8 -1 -10 -5 -9 2 11 6 10
5
6
3 12 7 11
-4 -9 -8 -12
表 面 表
体素及体素间的交、并、差运算
一些非正则形体的实例
(a)有悬面
(b)有悬边
（c）一条边有两个以上 的邻面（不连通）
非正则形体实例
正则集合运算
集合运算（并、交、差）是构造形体的基 本方法。正则形体经过集合运算后，可能 会产生悬边、悬面等低于三维的形体。 Requicha在引入正则形体概念的同时，还 定义了正则集合运算的概念。正则集合运 算保证集合运算的结果仍是一个正则形体， 即丢弃悬边、悬面等。
例子
AUTOCAD AME： 基本表示模式：同时采用CSG和B-rep方法 输入模式： CSG、扫描输入
输入模式中所提到的B-rep或CSG是指界面操作的 方式，它们分别采用了B-rep或CSG法的思想，不要与 所采用的机内存储方法混淆起来。
•多面体
Struct solid { Id solidno;//多面体的序号 Face * sfaces;//指向多面体的面 Edge *sedges;//指向多面体的边 Vertex * sverts;//指向多面体的顶点
体素： 球和柱
交 并 差
球－柱
柱－球
体素构造表示法 （ CSG树）
一个复杂物体可由一些比较简单、规 则的物体经过布尔运算而得到。因而， 这个复杂的物体可描述为一棵树。这棵 树的终端结点为基本体素(如立方体、 圆柱、圆锥)，而中间结点为正则集合 运算结点。这棵树叫做CSG树，如图所 示。 CSG树只定义了它所表示物体 的构造方式，既不反映物体的面、 边、顶点等有关边界信息，也不 显式说明三维点集与所表示的物 体在实际空间的一一对应关系。 因此，这种表示又被称为物体的 隐式模型或过程模型。 U
边界表示中的层次结构
与表面模型的区别
边界表示法的表面必须封闭、有向，各张表面间有严 格的拓扑关系，形成一个整体； 而表面模型的面可以不封闭，面的上下表面都可以有 效，不能判定面的哪一侧是体内与体外； 此外，表面模型没有提供各张表面之间相互连接的信 息。
实用系统中的CSG法和B-rep法 (1)由于CSG法描述实体的能力强，故几乎 在所有基于边界表示法的实用系统中，都采 用CSG法作为实体输入手段。 例如，有建立体素的命令，进行各种体素拼 合的命令，以及修改某个体素的命令等；当 执行这些命令时，相应地生成或修改边界表 示数据结构中的数据。
四面体网格模型
•表示方法 •将包含实体的空间分割成四面体单元的集合 •特点 •可以以边界面片为四面体的一个面，模型精度高
•能够构建复杂形体的网格模型
•在复杂对象的科学计算和工程分析中具有重要的应用 •四面体网格模型数据结构复杂，实现复杂空间域边界一 致的四面体剖分是近年来的研究热点。
便于做有限元分析、数据场可视化

说明：尽管定义曲 面的方式多种多样， 但它们都可以由 NURBS曲面统一表 示。
组合曲面
组合曲面（Composite Surfaces）是由曲面片拼合 成的复杂曲面。 现实中，复杂的几何产品很难用一张简单的 曲面进行表示。 将整张复杂曲面分解为若干曲面片，每张曲 面片由满足给定边界约束的方程表示。理论上，采 用这种分片技术，任何复杂曲面都可以由定义完善 的曲面片拼合而成。
Solid * next//指向后一个多面体
Solid * prevs;//只向前一个多面体 }
扫描法
基本思想: “运动的物体”加上“轨迹” 常用的扫描方式：平移式、旋转式和广义式。 平移扫描法：沿垂直于二维集合进行扫描； 旋转扫描法：绕某一轴线旋转某一角度； 广义扫描法：二维几何集合沿一条空间曲线的集合扫描； 平移扫描法
利用投影变换，从三维线框模型可方便 地生成各种正投影图、轴测图和任意观 察方向的透视投影图。

缺点:
中间打孔的长方体
— 易出现二义性理解； — 缺少曲面边缘侧影轮廓线； —缺少边与面、面与体之间关系的 信息，不能描述产品。
表面模型
面模型 用面的集合来表示物体（适用于难
于用数学模型描述的物体）
实体模型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可以理解为“实心”
能够完整表示物体的所有形状 信息，赋予颜色 能够计算体积、面积、重量等 基本物理量；
可以赋予材料特性；
模拟物理的运动，受力变形 常用的三维实体模型： 体素构造表示法 边界表示法
空间单元表示法
实体模型的概念
实体模型的核心问题是采用什么方法来表示 实体。与线框模型和表面模型的根本区别在于： 实体模型不仅记录了全部几何信息，而且记录了 全部点、线、面、体的信息。
比线框模型立体感强； 特点：
能够计算面积，表达物体的表面形状；