2020中考数学复习微专题：最值（“胡不归”问题）
突破与提升策略
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
【模型建立】
如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21
AC BC
V V +
的值最小．
【问题分析】
121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
，记12V k V =，
2
驿道
2
M
即求BC +kAC 的最小值．
【问题解决】
构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．
将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．
【模型总结】
在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．
而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．
M M
1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一
个动点，则CD +
的最小值是_______．
【分析】本题关键在于处理
”，考虑tan A =2，△ABE
三边之比为1:2
sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H
点，则DH =．
问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此
时
CD DH CH BE +===．
【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：
则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．
A
B
C
D
E
H
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
H
E
D
C
B
2.如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一
动点，则PB +
的最小值等于________．
【分析】考虑如何构造
”，已知∠A =60°，且
，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，
即可得PH =
，将问题转化为：求PB +PH 最小值．
当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．
αsin α
5
H
E
D
C B
A
E
D
C
B
A
B
C
D
P
M H
P
D
C
B
A
A
B
C
D
P
H M
3.如图，已知抛物线()()248
k
y x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B
的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ．
（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点
M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A （-2,0），B （4,0）
，直线解析式为y =，D
点坐标为(-，故抛物线解析式
为)()24y x x =
+-
，化简为：2y x =处略去了该题的第二小问．
点M 运动的时间为12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
，即求1
2
AF DF ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的最小值．
接下来问题便是如何构造
2
DF
，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH
=
2
DF
． 当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果．
4.
抛物线2y x =+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边）
，与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当
1
2
PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1
的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）
【分析】根据抛物线解析式得
A ()-、
B )、
C (，直线AC 的解析
式为：y AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2
EC
取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于
H 点，则∠CEH =30°，故CH =
2
EC
，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．
考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，
设2,P m ⎛
+ ⎝
，
则E m ⎛
+ ⎝
，H ⎛+ ⎝
，2PE =
，CH =
，
2
2=PE CH m +=+
sin ABE ∠=
当P
点坐标为(-时，取到最小值，故确定P 、C 、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．。