高三年级质量调研考试数学试卷 第1页共9页C 1D 1B 1A 1CA B DE闵行区2016学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 方程()lg 341x +=的解=x _____________． 2. 若关于x 的不等式0x ax b->-(),a b ∈R 的解集为()(),14,-∞+∞，则a b +=____． 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则此数列的通项公式为___________． 4. 函数()1f x x 的反函数是_____________．5.()612x +的展开式中3x 项的系数为___________．（用数字作答）6. 如右图，已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为________________．7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含 有“a ”的共有_____________种排法．（用数字作答）8. 集合[]{}cos(cos )0,0,x x x ππ=∈= _____．（用列举法表示） 9. 如右图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅的取值范围是__________． 10. 已知,x y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的取值范围是____________．高三年级质量调研考试数学试卷 第2页共9页ABODC11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组()1234,,,x x x x 和()1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成.记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最小值是________________．（用向量,a b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，121,2a a ==，对任意*n ∈N ，有2n n a a +=，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n ∈N ），若数列2n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的1b 的值为_______________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 若,a b 为实数，则“1a <”是“11a>”的 ( ) (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a = ( )(A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 215. 函数()2f x x a =-在区间[]1,1-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是 ( )(A) [)0,+∞ (B) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(D) [)1,+∞16. 曲线1C :sin y x =，曲线2C :()222102x y r r r ⎛⎫++-=> ⎪⎝⎭，它们交点的个数 ( )(A) 恒为偶数 (B) 恒为奇数 (C) 不超过2017 (D) 可超过2017三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在AOB Rt △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将AOB Rt △以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且90BOC ∠=︒， 求：（1）圆锥的侧面积；（2）直线CD 与平面BOC 所成的角的大小．（用反三角函数表示）高三年级质量调研考试数学试卷 第3页共9页河流AB20km河流A B污水处理厂★x18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．已知()23,1m =，2cos ,sin 2A n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A B C 、、是ABC △的内角． （1）当2A π=时，求n 的值；（2）若23C π=，3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米．以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放．两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）．依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m=⋅（万元），m 表示污水流量；铺设管道的费用（包括管道费）() 3.2g x x =，x 表示输送污水管道的长度（千米）．已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米．假定：经管道输送的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中．请解答下列问题（结果精确到0.1）：（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系式，并求y 的取值范围．高三年级质量调研考试数学试卷 第4页共9页20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 如图，椭圆2214yx +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B为顶点，焦距为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系上，有一点列01231n n P P P P P P -，，，，，，，设点k P 的坐标(),k k x y （,k k n ∈≤N ），其中k k x y ∈Z 、． 记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足2k k x y ∆⋅∆=（*,k k n ∈≤N ）．（1）已知点()00,1P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标； （2）已知点()00,1P ，1k x ∆=（*,k k n ∈≤N ），且{}k y （,k k n ∈≤N ）是递增数列，点n P 在直线l ：38y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为()0,0，2016100y =，求0122016x x x x ++++的最大值．高三年级质量调研考试数学试卷 第5页共9页闵行区2016学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．2； 2．5； 3．12n n a -=； 4．()()211(1)f x x x -=-≥； 5．160；6．43； 7．240；8．2,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；9．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 10．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 11．4a b ⋅；12．2；二. 选择题 13．C ； 14．B ； 15．C ； 16．D ． 三. 解答题17．[解] （1）=S rl π侧 …………………………2分248ππ=⨯⨯= …………………………6分（2）取OB 的中点E ，连接DE 、CE ， ………………8分 则//DE AO ，所以DE BOC ⊥平面，所以DCE ∠是直线CD 与平面BOC 所成的角， …………10分 在DEC Rt △中，CE DE ==tan 5DCE ∠== …………12分所以DCE ∠= 所以直线CD 与平面BOC所成的角的大小为arctan 5（arcsin 4） (14)分18．[解] （1）当2A π=时，1,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭12n ⎛∴==…………4分（2）)223sin 1cos sin 2Am n A A A ⋅=+=++ …………6分2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ …………………………8分m n ⋅取到最大值时 ， 6A π=…………………………10分由正弦定理sin sin AB BCC A=， …………………………12分ABODCE高三年级质量调研考试数学试卷 第6页共9页32sin sin 36BCππ⇒=解得BC = …………………………14分 19．[解] （1）分别单独建厂，共需总费用0.70.71253255131.1y =⨯+⨯≈万元 …………………………4分（2）联合建厂，共需总费用()0.72535 3.2y =⨯++020x ≤≤）所以y 与x的函数关系式为0.7258 3.2y =⨯+（020x ≤≤）……8分令()h x =+（020x ≤≤）()[]2202020,40h x =+=+ (10)分0.70.7121.5258 3.2258 3.2127.4y ≈⨯+≤≤⨯+≈y 的取值范围为[]121.5,127.4． …………………………14分20．[解]（1）设双曲线Γ的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，双曲线的焦距为2c ；………2分依题意可得()1,0A -，()1,0B，1,a c ==222514b c a ∴=-=-=∴双曲线Γ的方程为2214y x -= …………………………4分(2) 由题意可知，直线,,AP BP OM 的斜率皆存在，且不为零． 设点()11,P x y 、()22,Q x y ，直线AP 的方程为()1y k x =+ （02k <<）联立方程组()22114y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 整理，得()22224240k x k x k +++-=， ………6分高三年级质量调研考试数学试卷 第7页共9页解得，1x =-或2244k x k -=+，22244k x k -∴=+，得22248,44k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，2224,44k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ………8分 因为02k <<， 24444M k y k k k==++在()0,2上是增函数，所以()0,1M y ∈ (10)分（或者244144M k y k k k ==≤=++，当且仅当2k =时取等号，所以()0,1M y ∈）（3）方法一：由题（2）知直线OM 的方程为:4y x k=- ………………12分同理，解方程组()22114y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，可得21244k x k +=-， 得点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭直线BP 的斜率1141BP y k x k==- 直线BP 的方程为:()41y x k=-， …………………………14分 联立直线BP 与直线OM 的方程，解得12x =， 因为直线BP 与OM 的斜率互为相反数，所以直线BP 与OM 关于直线12x =对称． …………………………16分 方法二：由()11,P x y 在双曲线上可得：111411y yx x ⋅=+- 所以4AP BP k k ⋅= …………………………12分 同理4AQ BQ k k ⋅=-，即4AP OM k k ⋅=-, …………………………14分高三年级质量调研考试数学试卷 第8页共9页因此0OM BP k k +=设直线OM :y k x '=，则直线BP :()1y k x '=--,解得12x =因为直线BP 与OM 的斜率互为相反数，所以直线BP 与OM 关于直线12x =对称． …………………………16分21．[解] （1）因为k x ∈Z 、k y ∈Z ，所以,k k x y ∆∆∈Z 又因为112x y ∆⋅∆=，110x y <∆<∆， 所以1112x y ∆=⎧⎨∆=⎩ ………………2分所以101011x x x =+∆=+=，10112y y y =+∆=+所以点1P 的坐标为 ()1,3 …………………………4分（2）因为00x =，1k x ∆=（*,k k n ∈≤N ），得0123n n x x x x x x n =+∆+∆+∆++∆= ………………………6分又2k k x y ∆⋅∆=，1k x ∆=，得2k y ∆=±（*,k k n ∈≤N ），因为0123k k y y y y x y =+∆+∆+∆++∆，而{}k y （,k k n ∈≤N ）是递增数列，故2k y ∆=（*,k k n ∈≤N ）012312n n y y y y x y n =+∆+∆+∆++∆=+， ……………………8分所以(),12n P n n +将(),12n P n n +代入38y x =-，得1238n n +=-，得9n = ……………10分 （3）0123n ny y y y y y =+∆+∆+∆++∆20161232016100y y y y y ⇒=∆+∆+∆++∆= …………………………12分记012n n T x x x x =++++高三年级质量调研考试数学试卷 第9页共9页()()()0010120123n x x x x x x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆+∆++∆()12112n n n x n x x x -=∆+-∆++∆+∆ …………………………14分因为2016n =是偶数，100n >，()()2121122121n n n T n x n x x x n n n n -=∆+-∆++∆+∆≤+-+++=+⎡⎤⎣⎦…16分 当12310010110211,1,1,,1,1n n y y y y y y y y -∆=∆=∆==∆=∆=∆=-∆=∆=-，1232n x x x x ∆=∆=∆==∆=时（取法不唯一），()2max n T n n =+所以()22016max 201620164066272T =+= (18)分。