35
标准正态分布
=0,σ=1的正态分布N(0,1)称之为标准正态分布.
密度函数 f(x)= 分布函数
1
√2 π
-x2/2 e
1
(u)=∫u
-∞ √2 π (u)具有如下特性: (0)=0.5 (- ∞)=0 ,(∞)=1 (-u)=1- (u)
-x2/2 e dx
36
概率计算公式
我们可以利用(u)的数值表,计算一般的正态变量 X在某区间内取值的概率若质量特性值X-N(,σ2), 则
25
直方图与规格范围比较(一)
观测值分布符合规律的直方图有以下几种情况:
– 散布范围B在规格范围T=[Tl,Tu]内,两边略有余量,是理想直方图. – B位于T 内,一边有余量,一边重合,分布中心偏移规格中心.这时应采 取措施使两者重合,否则一侧无余量,稍不注意就会超差,出现不合格品. – B与T完全一致,由于两侧无余量,很容易出现不合格品,应加强管理,设 法提高过程能力.
8,绘制直方图
以频数(或频率)为纵坐标,数据观察 值为横坐标,以组距为底边,数据观察 值落入各组的频数fi(或频率pi)为高, 画出一系列矩形,这样得到的图形为频 数(或频率)直方图.在图的右上方记 上数据个数,并在图上标明标准界限.
11
正常型直方图
正常型是指过程处于稳定(统计控制状 态)的图型. 它的形状是"中间高,两边低,左右近 似对称." "近似"是指一般直方图多少有点参差 不齐,主要看整体形状.
30
f(x)
x
31
正态分布的密度函数
正态分布密度曲线函数表达式: f(x)= 1 √ 2π
-(x-)2/2σ2 e
它具有如下特性: 非负性 f(x)≥0 归一性 ∫∞ -∞ 对称性(+x) =( -x) (x)dx=1
32
参数和σ的意义
几何意义
– 为位置参数,是分布中心.密度曲线右移 变大,密度曲线左移变小. – σ为形状参数,σ越大曲线越平坦,σ越小密度 曲线越陡峭.
20
(a) 陡壁型直方图
(b)
21
偏态型直方图
直方图的顶峰偏向一侧,有时偏左,有 时偏右.
由于某种原因使下限受到限制时,容易发生"偏左" 型.例如:用标准值控制下限,不纯成分接近于零, 或由于加工习惯(如:孔加工往往偏小),都会形成 偏左型. 由于某种原因使上限受到限制时,容易发生"偏右" 型.例如:纯度接近100%,合格率接近100%,或由于 加工习惯(如:轴外圆加工往往偏大),都会形成偏 右型.
28
正态分布
29
正态分布的概念
当生产过程正常时,计量特性值数据的频率直 方图应是中间高,两边低,左右大致对称的图 形,这种分布规律称为正态分布."正态"两 字,意为正常状态下的分布. 如果以一条光滑的,单峰的,左右对称的曲线 来取代正常形态的频率直方图,使得曲线与X 轴所围的面积基本相等,即均等于100%.此曲 线称为正态密度曲线.
3
15.2 15.0 15.3 15.0 15.3
4
15.1 15.6 15.6 14.9 14.7
5
15.9 15.7 15.1 14.8 14.5
6
14.7 14.8 14.9 14.5 15.5
7
14.8 14.5 14.2 15.1 15.0
8
15.5 14.2 14.6 15.5 14.7
22
(a)偏左
偏态型直方图
(b)偏右23ຫໍສະໝຸດ 平顶型直方图直方图没有突出的顶峰,呈平顶型.一 般可能是以下三种原因造成:
– 与双峰型类似,由多个总体,多种分布混在 一起. – 由于生产过程中某种缓慢的倾向在起作用, 如工具的磨损,操作者的疲劳等. – 质量指标在某个区间中均匀变化.
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平顶型直方图
L=maxLi=15.9
1≤i≤5
S=minSi=14.2
1≤i≤5
R=L-S=15.9-14.2=1.7
区间[S,L] 称为数据的散布范围,记作B,全体数据在散布 范围内变动.本例B= [14.2,15.9].
5
3,确定数据的大致分组数k
建议分组数参照下表选取,或按下述经验公式确定: k=1+3.322lgn 本例取k=6. 分组数参照表
9 10 Li
15.6 14.9 15.8 15.6 14.6 15.3 14.9 15.2 15.1 14.2 15.9 15.7 15.8 15.9 15.5
Si
14.7 14.2 14.2 14.5 14.2
Li为第i行数据的最小值 Si为第i行数据的最小值
4
2,找出数据中的最大值L,最 小值S和极差R
P{a<X<b}=(
b- σ
)-(
a- σ
)
37
过 程 能 力
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用途
过程能力指数用以反映过程处于正常状 态时,即:人员,机器,原材料,工艺 方法,测量和环境(即5M1E)充分标准 化并处于稳定状态时,所表现出来的保 证产品质量的能力.
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计算方法
过程无偏差时:=Tm的情形
设X为过程质量特性,当过程处于正常状态时,可认为 X-N( , σ2).又设X的规格限为(Tl,Tu),称 Tm=(Tu+Tl)/2为规格中心,T=Tu-Tl为公差. 若X的分布中心等于规格中心Tm,则称此过程是无偏 差的.此时,过程能力指数:Cp=T/6 σ
数据个数n 50—100 100—250 250以上 分组数k 6—10 7—12 10—20
经验表明,组数太少会掩盖各组内数据的变动情况;组数太多会使各组 的高度参差不齐,从而看不出明显的规律.
6
4,确定各组组距h
h=R/k=(L-S)/k=1.7/6≈0.3
7
5,计算各组上,下限
首先确定第一组下限值,应注意使最小值S被包含在第 一组中,且数据观察值不落在上,下限上.故第一组 下限值取为 S-h/2=14.2-0.15=14.05 然后依次加入组距h,即可得到各组上,下限值.第一 组的上限值为第二组的下限值,第二组的下限值加上h 为第二组的上限值,其余类推,最后一组应包含最大 值L.各组上,下限见表(1).
16
双峰型直方图
17
折齿型直方图
直方图出现凹凸不平的形状. 这是由于作直方图时数据分组太多,测 量仪器误差过大,或观测数据不准确等 造成的. 此时,应重新收集和整理数据.
18
折齿型直方图
19
陡壁型直方图
直方图像高山上的陡壁,向一边倾斜. 通常在产品质量较差时,为得到符合标 准的产品,需要进行全数检查,以剔除 不合格品. 当用剔除了不合格品的产品数据作频数 直方图时容易产生这种陡壁型,这是一 种非自然形态.
物理意义
– 是数据的总平均,σ大则反映数据差别大,σ 小则反映数据差别小. – 以后我们以X- N(,σ2)表示质量特性X服 从均值 ,标准偏差为σ的正态分布.
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参数和σ的估计
数据不分组时,若质量特性X的n个观测值 x1,x2,…xn,则 ^ =x=(1/n)*∑xi σ ^ =S=√(1/(n-1))*∑(xi-x)2 此外,当n≤10时,可以用中位数x估计, ^= x. 另一方面σ还可以用极差法估计,即: σ ^ =R/d2 式中,R为n个数据的极差,即最大值减最小值, d2可从控制图
T B
T B
T B
S TL
L
Tu
TL ( S)
L Tu
TL S
L 27 (Tu)
直方图的局限性
直方图的一个主要缺点是不能反映生产 过程中质量随时间的变化. 如果存在时间倾向,比如工具的磨损, 或某些其他非随机排列,则直方图会掩 盖这种信息. 为此,直方图并不像许多人所想象的那 样,可用来定义过程能力.
41
计算方法
过程有偏差时: ≠Tm的情形 若过程质量特性X的分布中心 不等于规格 中心Tm,则称此过程是有偏差的.此时, 计算修正后的过程能力指数,即 Cpk=(1-k)Cp k= -Tm / T/2
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例2
滚珠直径的加工标准为15.0+/-1.0,任取n=50个,求得 x=15.1,S=0.44,求修正后的 过程能力指数. 1,判定过程是否有偏离 = x =15.1,Tm=15.0, ≠Tm,过程有偏差. 2,求Cp值:Cp=T/6S=2.0/6/0.44=0.76 3,求偏移系数k: k= -Tm /T/2= x-Tm /T/2 =(15.1-15.0)/1=0.1 4,求修正后的过程能力指数Cpk Cpk=(1-k)Cp=(1-0.1)*0.76=0.68
8
6,计算各组中心值bi
bi= 第i组下限值+第i组上限值
2
各组中心值见表1.
9
7,制作频数(频率)分布表
频数fi就是n个数据中落入第i组的数据个而频率pi=fi/n. 频数(频率)分布表(表1)
产品名称 零件名称 过程要求 技术标准 组序 1 2 3 4 5 6 7 合计 φ15.0+_1.0 组界限 14.05—14.35 14.35—14.65 14.65—14.95 14.95—15.25 15.25—15.55 15.55—15.85 15.85—16.15 滚珠 操作者 生产日期 制表者 制表日期 组中值bi 14.2 14.5 14.8 15.1 15.4 15.7 16.0 3 5 10 16 8 6 2 50 频数fi 设备名称 检测仪器 检测者 抽样方法 频率pi 0.06 0.10 0.20 0.32 0.16 0.12 0.04 100% 10
T B
T B
T B
TL S
L Tu
TL ( S)
L Tu