题目归纳法在数学中的应用与地位学生学号指导老师年级学院系别xx年xx月目录目录 (2)摘要 (3)引言 (4)一、数学归纳法的历史由来 (4)二、归纳法的特点 (4)二基本步骤 (5)三数学归纳法的常用方法举例 (6)3.1求同法 (6)3.2求异法 (6)3.3求同求异并用法 (7)3.4共变法 (7)3.5剩余法 (7)四、在高等数学中的归纳法运用举例 (8)五、数学归纳法解决应用问题 (9)5.1代数恒等式方面的问题 (9)5.2几何方面的应用 (9)5.3排列和组合上的应用 (10)5.4对于不等式的证明上的应用 (11)六、总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)摘要数学归纳法是中学数学中一种常用的证题方法，是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式.它的应用极其广泛．本文讨论了数学归纳法的步骤，它集归纳，猜想，证明于一体，体现了数学归纳法的证题思路．本文归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式，几何，排列组合等方面的一些应用问题的方法，并对应用中常见的误区加以剖析，以及一些证法技巧介绍，有利于提高对数学归纳法的应用能力．数学归纳法的具体应用时,有许多更为灵活的形式,这一点是宜于注意的.不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论,只是停留在对事物的表面现象的观察上,没有深入地分析产生现象的原因,只有对现象产生的原因有了了解,才会提高结论的可信程度.人们在长期的科学实践过程中,总结出了确定因果关系的几种逻辑方法:求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法.归纳法在数学中运用十分广泛.关键词：数学归纳法数学归纳法的特点步骤应用.AbstractMathematical induction is a common evidence method in secondary school mathematics, it is have very broad application. In this paper, author reaserch into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ,evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz themethod of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application．So-called mathematics inductive method is from the special concrete understanding propulsion to general of abstract of a kind of mode of thinking of[with] understanding, it is science discovers of a kind of long use of valid mode of thinking.The inductive method is in mathematics make use of very extensively. Key words：Mathematical induction; steps；Application.引 言在中学数学学习的过程中，有一种很常见且基本的数学方法——数学归纳法．对于数学归纳法，有人问：为什么说数学归纳法是严格的证明方法？数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要有这样的规定格式？数学归纳法的应用前景如何？下面将逐一进行解答一、数学归纳法的历史由来曾经有一个叫皮亚诺的意大利人把我们小时侯数数的过程归纳整理出来，称作正整数公理．这个公理有五条：“简单归纳一下，前四条是说：1是正整数，且它不是任何正整数的后面的一个数（称作后继），即1是第一个正整数，每个正整数都有唯一的后继，而且是正整数”；关键是第五条：“一个正整数集合，如果包含1，并且假设包含x ，也一定包含它的后继，那这个集合包含所有的正整数．”这一条就是数学归纳法的原理[]1．用符号表示，即：如果S N Í,且满足(1)1S Î （2）若k S Î则1k S + ,那么 S N = ． 根据这一原理，就有了数学归纳法，设()P n 是与正整数有关的命题．如果(1)当1n =时正确，即(1)P 正确(2)若假设()P k 正确前提下，可以证明命题(1)P k 也正确那么命题对任意正整数都是正确的．数学归纳法的正确性可以用“正整数最小数原理”加以证明，正整数最小数原理是说，任何非空正整数集合一定含有最小数．二、归纳法的特点(1)归纳法是根据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论,超越了前提所包含的内容.(2)归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象,因而结论具有猜测的性质.(3)归纳法的前提是单个事实、特殊情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验、对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.例如多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 之间有什么关系呢?应该从何处着手来研究这个问题呢?最容易下手的莫过于拿几个多面体来看,具体地数一数它们的面、顶点和棱.于是产生了下面的表:分析这些特例的数据的基础上就可以归纳出一个结论:F V E +=+.尽管这时还不能认为这个结论是正确的,但是它毕竟为我们提供可一个研究的方向,即根据这个结论再去证实它符合一般多面体的情形.又如,已知函数()f x =,求{[()]}f f f x .显然无法下手直接计算得出结果,最自然的想法乃是先求[()]f f x 及{[()]}f f f x 等特殊的简单的形式.易得:f f x=;{[()]}f f f xx =;于是,可以自然地归纳出结论:{[()]}f f f x=.有了这个猜测性的结论之后,再去严格证明它.二 基本步骤数学归纳法是数学中一种重要而独特的证明方法，对与自然数n 有关的命题的证明是行之有效的．首先它的两个步骤缺一不可 ，其次它的应用非常广泛，可以用它解决好多方面的数学问题[]2．数学归纳法的步骤：(1)当1n =时，这个命题是正确的(2)假设当n k =时，这个命题是正确的，那么当1n k =+时，这个命题也是正确的．数学归纳法的两个步骤缺一不可．一方面不要认为，一个命题在1n=的时候正确，在2n=n=时也正确，则这个命题就正确了．老实说，不要说当3 n=时正确，在3的时候正确不算数，就是n为1000的时候正确，或者1万的时候正确，对任何自然数是否正确，还得证明了再说．三数学归纳法的常用方法举例3.1求同法某种被研究的对象,在几种不同的情形下都出现,而在各种情形中只有一个条件是共同的,于是,就可以认为这个条件是被研究现象产生的原因.它的公式可以表示为:情形各种条件被研究的对象I ,,A B C aII ,,A D E aIII ,,A F G a可以认为A是a的原因.两个边长相等的正方形,其中一个正方形某顶点重合于另一个正方形的中心O,并绕O点旋转,无论旋转到任何位置,两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.两个边长相等的正六边形也具有同样的性质.由此使我们猜想到,这个现象产生的原因只在于两个多边形边长相等而且是正多边形,它与边数的多少无关.伽利略观察到,摆长相等﹑振幅不相等时,摆动一个周期的时间不变,于是,肯定了摆长是周期的决定因素.3.2 求异法某种被研究的现象a,只有在第I种情形出现,在第II种情形不出现,而I﹑II两种情形除I有条件A而II没有条件A外,其余条件都相同,于是,可以认为A 是现象a产生的原因或部分原因。
求异法的公式是：情形各种条件被研究的对象I ,,A B C aII ,B C—可以认为是现象a产生的原因或部分原因在种子、土地、气温相同的条件下，如果施用有机肥，产量就低。
由此可以说明，施用有机肥时增产的原因，在相同的饲养条件下，如果给牛播送轻音乐，则牛奶产量高，说明播送轻音乐可以使牛奶产量增加。
3.3 求同求异并用法在一系列的情形中，凡有条件A 的都有现象a 出现凡没有条件A 的则现象a 不出现，则可认为A 是现象a 的原因。
求同求异并用法：情形 各种条件 被研究的对象I ,,A B C aII ,,A D Ea III ,,A F G aIV M N —V X Y —可以认为A 是a 的原因。
这种方法比单纯的求同法或求异法更为可靠。
3.4 共变法在一系列的情形中，其余条件保持不变，只把条件A 作大小强弱的变化，如果由此也只引起现象a 的大小强弱变化,则可认为A 是a 的原因.共变法的公式是:情形 各种条件 被研究的对象I 1A ,,B C 1aII 2A ,,B C 2aIII 3A ,,B C 3a 可以认为A 是a 的原因。
共变法多用于两种因素之间的量的依存关系.用柱面图或曲线表示两个变量之间的关系,也是共变法的一种表现.3.5 剩余法一组条件引起一组现象,如果除去条件A 和现象a 外,可以其余条件是其余现象的原因,就是A 是a 的原因.剩余法的公式是:情形 各种条件 被研究的对象I ,,A B C ,,a b cII Bb III Cc 可以认为A 是a 的原因。
含铀的沥青矿可以发出放射线,,居里夫人已经掌握了这种放射的强度.一次,居里夫人从含铀的沥青矿中,发现了超乎寻常的放射线的强度.于是,他推测应当有另一种放射性元素存在,经过艰苦的工作终于发现了镭.四、在高等数学中的归纳法运用举例例1 证明若1x >-,则不等式(1)1n x n +? (1)n ⑴为真,且仅当0x =时,等号成立.证明：当0x =时,显然式⑴等号成立.下面设1x - 且0x ¹,n当2n 时,(1)1212,x x x x +=++>+ 式⑴成立.假设n k =时, 式⑴成立, 即 (1)1k x kx +? ;当1n k =+时, 由上式得1(1)(1)(1)(1)(1)k k x x x kx x ++=++>++21(1)1(1)k x kx k x =+++>++可见,当1n k =+时, 式⑴也成立.故对一切n >的自然数, 式⑴都成立.例2 用数学归纳法的思想证明n +++= (1)2n n + (2) , 对任何自然数n 皆成 立.证明：当1n =时, 12n +++= 1212´==(1)2n n +, 则式(2)显然成立.假设n k =时, 式(2)成立, 即12k +++= (1)2k k + 当1n k =+时, 由上式得12(1)k ++++= (12)1k ++++= (1)2k k ++1 =222k k ++=(1)(2)2k k ++ ; 则,显然可以看出当1n k =+时式(2)也成立;故对一切自然数, 式(2)都成立.五、数学归纳法解决应用问题数学归纳法在讨论涉及正数无限性的问题时是一种非常重要的方法,在中学数学着中它的地位和作用可以从三个方面来看:(1)中学数学中的许多重要结论,如等差数列、等比数列的的通项公式与前n 项和公式,二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明. 对于由完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们也常采用数学归纳法来证明它们的正确性。