y ν x
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
z
z
x
下沿 x 轴的相对伸长，它
由三部分组成，即
y
o
y
z
Chapter 5.1
y
x x x x
x
x
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律
其中
c11 C11 , c12 C1122 , c14 C1112 , c56 C2331…
即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指
标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的
cmn (m, n＝1~6) 并不是张量。 由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性 材料，独立的弹性常数共有21个。
弹性张量，共有81个分量。
• 弹性张量的Voigt对称性
Cijkl C jikl Cijlk Cklij
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
ij ji
Cijkl kl C jikl kl kl
Cijkl C jikl
kl lk
Cijkl kl Cijlk lk Cijlk kl kl
x x x x
是由于x的作用所产生的相对伸长 其中 x
x
x
E
ν 是由于y的作用所产生的相对缩短 x x E
ν 是由于z的作用所产生的相对缩短 x x
y
z
E
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
9
e3
e’1 c
例：正交晶体(各种增强纤维复合材料、 e2 e1 木材等) b a 互相正交的e1-e2 ， e2-e3, e1-e3平面为弹 性对称面 Chapter 5.1
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
(1) 一般各向异性线弹性 ： 无弹性对称面
11 c11 22 33 对 12 23 31 c12 c22 c13 c23 c33 称 c14 c24 c34 c44 c15 c25 c35 c45 c55 c16 11 c26 22 c36 33 c46 12 c56 23 c66 31
21
c

a
Chapter 5.1
例： 三斜晶体
b

§4-2 广义胡克定律
(2) 具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体 ： 13
11 c11 c12 c22 22 33 对 12 23 31 c13 c23 c33 称 c14 c24 c34 c44 0 0 0 0 c55 0 11 0 22 0 33 0 12 c56 23 c66 31
E ij ij ij 1 1 E 2G ij ij 1 1 2
∴
令
1 1 2
则
E
ij 2Gij kkij
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
弹性关系的常规形式为
对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量 都可能引起律的一般形式是：
ij Cijkl kl
ij Dijkl kl
C 是四阶刚度（弹性）张量。
D 是四阶柔度张量。
Chapter 5.2
§4-2 广义胡克定律
由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl 均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称
x y z
1 2 x y z E
E 其中 K 称为体积模量。 3(1 2 )
1 2 E 3K
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
1 1 2 ∵ ij E ij E kk ij ; E
§4-1 本构关系概念
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材
料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
1 x y z 2 x y z x y z E 1 2 x y z E Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
如用应变第一不变量 代替三个正应变之和，用应力 第一不变量 表示三个正应力之和，则
1 x x ν y z E 1 y y ν x z E 1 z ν z x y E
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
Chapter 5.1
下节中将证明
Cijkl Cklij
Cijkl C jikl
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
Cijkl C jikl Cijlk
独立的弹性常数由81个降为36个
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx xy c41 x c42 y c43 z c44 xy c45 yz c46 zx yz c51 x c52 y c53 z c54 xy c55 yz c56 zx zx c61 x c62 y c63 z c64 xy c65 yzChapter c66 zx 5.1
弹性力学
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料， 相应的剪切模量为
E G 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 0 0.5 的范围内。
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-2 广义胡克定律
各向同性本构关系
Chapter 5.1
x
y
z
§4-1 本构关系概念
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy， 而不引起 xz、yz，于是可得
xy
同理
xy
G
yz yz G zx zx G
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
1 x ν ν ν x y z E E E E
同理可得到在y轴和z轴方向的应变 1 y y ν x z E 1 z ν z x y E
ij 2G ij kk ij
E E ij kk ij 1 1 1 2
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引 起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变， 它们是互不耦合的。
Chapter 5.2
§4-2 广义胡克定律
各向异性本构关系
第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起 的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化) 第二式说明弹性体的形状畸变 是由应力偏量 ij
ij
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状
变化)
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
常用的三套弹性常数
E、ν Lamé 常数：G、λ K、G 静水压、纯剪（扭 转）测定 单拉测定
§4-1 本构关系概念
∵
E 0; G 0; K 0
E G= 2( 1 + ν)
2 E K G 3 3 1 2
故要上式成立必要求：
1 0; 1 2 0
即
1 0.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
1 0.5
x 2G x ; xy G xy y 2G y ; yz G yz x 2G z ; zx G zx
其中 G 和 称为拉梅常数。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
将应力和应变张量分解成球量和偏量，得
e3
c e1 e2
例：单斜晶体(正长石和云母等) e1,e2平面为弹性对称面
a b e‘3 5.1 Chapter
§4-2 广义胡克定律
(3) 正交各向异性线弹性体 ：
11 c11 c12 c22 22 33 对 12 23 31 c13 c23 c33 称 0 0 0 c44 0 0 0 0 c55 0 11 0 22 0 33 0 12 0 23 c66 31