2
方程为 __________ __________ ?
解：方程x 2 y 2 4 x cos 2 y sin 3 cos2 0 可以化为( x 2 cos ) 2 ( y sin ) 2 1 所以圆心的参数方程为 {
2
x 2 cos y sin
3、设P( x, y )是椭圆2 x 3 y 12上的一个动点，
2 2
求x 2 y的取值范围。
x y 解：椭圆的方程可化为 1, 6 4 它的一个参数方程为 { x 6 cos y 2 sin (为参数， 2 ) 0
2
2
x 2 y 6 cos 4 sin 22 cos( ) cos( ) [1,1] x 2 y [ 22 , 22 ]


椭圆参数方程的推导 从几何变换的角度看，通过伸缩变换 1 x x 2 2 a 则椭圆的方程 x y 1可以变成 { 1 a 2 b2 y y b x2＋y2 1.利用圆的参数方程 x cos { (为参数)可以得到椭圆的参数 y sin 方程为{ x a cos y b sin
(为参数)
x 2 化为普通方程是 y 1 4
3、椭圆{
x 3 17 cos y 8 sin 2
(为参数)的中心坐标
为 __________准线方程为 __________ , ____.
(3,2)
289 x 3 15
x2 y2 例1、在椭圆 1上求一点M，使点M到 9 4 直线x 2 y 10 0的距离最小，并求出最小距离
3 4 其中 0满足 cos0 , sin 0 5 5 由三角函数性质知，当－ 0＝0时，d取最小值 5 9 8 此时3 cos 3 cos 0 ,2 sin 2 sin 0 5 5 9 8 所以，当点M位于( , )时，点M与直线 5 5 x 2 y 10 0的距离取最小值 5。
小节：
椭圆的参数方程的形式
椭圆参数方程中参数的意义
4、P是椭圆{
x 4 cos y 2 3 sin
(为参数)上一点，且
在第一象限，OP (O为原点)的倾斜角为 ，则 3 点P的坐标为 ( B )

4 4 A、 ,3), B、 5 , 15 ) (2 ( 5 5
C、 3, 3 ), D、ห้องสมุดไป่ตู้,3) (2 (4
解： OP的倾斜角为 kOP tan 3 3 3 y 2 3 sin 又kOP 3 sin 2 cos x 4 cos 2 2 又 sin cos 1, 且点P在第一象限 5 2 5 cos , sin 从而有 5 5 4 5 4 15 x 4 cos , y 2 3 sin 5 5
y M

o B x
A
1、当参数变化时，动点P (3 cos ,2 sin )所 确定的曲线必过
(
B
)
A、点(2,3), B、点(3,0) C、点(1,3), D、点(0, ) 2
它的焦距是多少？

2 5
2、已知圆的方程为x 2 y 2 4 x cos 2 y sin 3 cos 0, (为参数)，那么圆心的轨迹的普通
y A M
B

x
o
设以ox为始边，OA为终边的角，点M的坐标 是( x, y )，那么点A的横坐标为x, 点B的纵坐标为 y，由点A, B均在角的终边上，由三角函数的 定义有 x OA cos a cos y OB sin b sin
当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是 { x a cos y b sin (为参数)
这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆。
在椭圆的参数方程中，通常规定参数的 范围是 [0,2 )
思考： 椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方 程{ x r cos y r sin (为参数)中参数的意义类似吗？
由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半 径OA(或OB )的旋转角(称为点M的离心角)，不 是OM的旋转角，参数是半径OM的旋转角。
解：因为椭圆的参数方程为{ 所以可设点M (3 cos ,2 sin )
x 3 cos y 2 sin
(为参数)
由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离 d 3 cos 4 sin 10 5
3 4 5(cos sin ) 10 1 5 5 5 cos( 0 ) 10 5 5
二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程
x y 由例4我们得到了椭圆 2 2 1(a b 0)的 a b x a cos 一个参数方程为 { (为参数) y b sin 这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的 参数方程。
2
2
思考： 类比圆的参数方程中参数的意义，椭圆的参数 方程中参数的意义是什么？