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高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法

2、配方法
例12. 求函数y=2x2+4x的值域。
解:y=2x2+4x=2(x2+2x+1)-2=2(x+1)2-2≥-2,故值域为{y|y≥-2}。
说明:这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的,对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解,如y=af2(x)+bf(x)+c。
解:Y=20-2X
Y>0,即20-2X>0,X<10,
两边之和大于第三边,
2X>Y,
即2X>20-2X
4X>20
X>5。
本题定义域较难,很容易忽略X>5。
∴5
4、二次函数y=x2-4x+4的定义域为[a,b](a<b),值域也是[a,b],则区间[a,b]是( )
A.[0,4]B. [1,4]C. [1,3]D. [3,4]
当x>2时,2/(2-x) 6≥2-x => x≥-4
∴定义域:[-4,2)
三. 解答题
10、求函数 的定义域。
11、已知 ,若f(a)=3,求a的值。
12、已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=-x2+4x,试求f(x)的表达式。
解:2f(-x)-f(x)=-x2-4x 4f(x)-2f(-x)=-2x2+8x 相加得 f(x)=-x2+4x/3
2、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联立求解。
例2. (1)已知 ,试求 ;
(2)已知 ,试求 ;
解:(1)由条件式,以 代x,则得 ,与条件式联立,消去 ,则得: 。
(2)由条件式,以-x代x则得: ,与条件式联立,消去 ,则得: 。
说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出。
4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域;
5、分段函数的定义域是各个区间的并集;
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;
一:求函数解析式
1、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。
例1. 已知 ,试求 。
解:设 ,则 ,代入条件式可得: ,t≠1。故得: 。
说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。
(二)求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;
3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;
6、函数 的值域是( )
解:判别式法
7、(2007安徽)图中的图像所表示的函数的解析式是( )
二. 填空题
8、若f(x)=(x+a)3对任意x∈R都有f(1+x)=-f(1-x),则f(2)+f(-2)=;
解:∵对任意x∈R,总有f(1+x)=-f(1-x),
∴当x=0时,有f(1+0)=-f(1-0),
求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法;随着高中学习的深入,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。
1、分离变量法
例11. 求函数 的值域。
解: ,因为 ,故y≠2,所以值域为{y|y≠2}。
说明:这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量x,可通过等价变形,让变量只出现在分母中,再行求解。
解:
又由于x2-4x+3>0 **
联立*、**两式可解得:
例9. 若函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域。
解:由f(2x)的定义域是[-1,1]可知:2-1≤2x≤2,所以f(x)的定义域为[2-1,2],故log2x∈[2-1,2],解得 ,故定义域为 。
三:求函数的值域与最值
(1)
(2)
(3)
(4)
【思路分析】
【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点:一是值域的概念,即对于定义域 上的函数 ,其值域就是指集合 ;二是函数的定义域,对应关系是确定函数值的依据。
【解题过程】
(1)将 的值域为 。
(2) ,即所求函数的值域为 或用换元法,令 的值域为 。
(3)<方法一> 函数的定义域为R。
例4.求下列函数的解析式:
(1)已知 是二次函数,且 ,求 ;
(2)已知 ,求 , , ;
(3)已知 ,求 ;
(4)已知 ,求 。
【思路分析】
【题意分析】(1)由已知 是二次函数,所以可设 ,设法求出 即可。
(2)若能将 适当变形,用 的式子表示就容易解决了。
(3)设 为一个整体,不妨设为 ,然后用 表示 ,代入原表达式求解。
例3. 求 的定义域。
解:由题意知: ,从而解得:x>-2且x≠±4.故所求定义域为:
{x|x>-2且x≠±4}。
例2.求下列函数的定义域:
(1) ; (2)
【思路分析】
【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围,应考虑使函数解析式有意义,这里需考虑分母不为零,开偶次方被开方数为非负数。
【解题过程】(1)要使函数有意义,则 ,在数轴上标出,即 。故函数的定义域为 .当然也可表示为 。

<方法二>

故所求函数的值域为(-1,1]。
(4)<构造法>
所以函数的值域为[-12,3]。
【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形,通过观察或利用熟知的基本函数的值域,逐步推出所求函数的值域,有时还需要结合函数的图象进行分析。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
一. 选择题
1、函数y=f(x)的值域是[-2,2],则函数y=f(x+1)的值域是( )
二. 求函数的解析式
3、求函数解析式的一般方法有:
(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。
(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;
(3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g(x),以换元法解之;
(4) , 同时使得 有意义,用 代替 建立关于 , 的两个方程就行了。
【解题过程】⑴设 ,由 得 ,
由 ,得恒等式 ,得 。
故所求函数的解析式为 。
(2) ,
又 。
(3)设 ,

所以 。
(4)因为 ①
用 代替 得 ②
解①②式得 。
【题后思考】求函数解析式常见的题型有:
(1)解析式类型已知的,如本例⑴,一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式 ,顶点式 和标根式 的选择;
2.设函数 则不等式 的解集是( )A BFra bibliotekC D
答案:A
【解析】由已知,函数先增后减再增
当 , 令
解得 。
当 ,
故 ,解得
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
A. [-1,3] B. [-3,1] C. [-2,2] D. [-1,1]
解∵函数y=f(x)的值域是[-2,2],
∴y=f(x)的最大值为2,最小值为-2
又∵函数y=f(x+1)的图象是由y=f(x)向左平移1个单位而得
∴函数y=f(x+1)最大值是2,最小值是-2
所以函数y=f(x+1)的值域仍是[-2,2]
(4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;
(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。
2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。
例4. 已知函数由下表给出,求其定义域
X
1
2
3
4
5
6
Y
22
3
14
35
-6
17
解:{1,2,3,4,5,6}。
3、求与复合函数有关的定义域:由外函数f(u)的定义域可以确定内函数g(x)的范围,从而解得x∈I1,又由g(x)定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
即f(1)=-f(1).∴f(1)=0.
又∵f(x)=(x+a)3,∴f(1)=(1+a)3.
故有(1+a)3=0,解得a=-1.
∴f(x)=(x-1)3.
∴f(2)+f(-2)=(2-1)3+(-2-1)3=13+(-3)3=-26.
9、若函数 的值域为 ,则其定义域为;
解:2/(x-2)≤-1/3 => 1/3≤2/(2-x)
解:a ,由于对称轴为x=2,当x=0或x=4时有最大值y=4,x=2时有最小值y=0
5、函数y=f(x+2)的定义域是[3,4],则函数y=f(x+5)的定义域是( )
A. [0,1] B. [3,4] C. [5,6] D. [6,7]
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