.
a
b X
B A
X
a1
a H
H1 ● X1 P1 a1 X1
●
b1 a2b2
X2轴的位置？
与a1b1垂直
a2 b2
b1 V1 a1
X1
把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
把一般位置直线变为投影面垂直线
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法：
新投影面 的选择原则
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
二、点的投影变换规律
⒈ 更换一次投影面 ⑴ 新投影体系的建立
V

a
a1 .
a



A
a 1

V
V1
X
ax ax1
H v1 X1


H
ax
第6章
6-1 6-2
投影变换
概 述 换 面 法
6-1 概 述
c b a b a
c b d d c a
c
d
b b
a
a b a
c 三角形实形
a b a b c
d
两点之间距离
两平面夹角
直线与平面的交点
求点到直线距离
e'f'
f
e
求两平面夹角
θ
P
φ P H Q θ
Q
6-2 换面法
●
b a1 d1
● ●
θ c1
.
●
b1
.
d
a2≡ b2
●
θ
●
●
d2
c2
求直线与平面的夹角
1 常规方法 2 换面法
θ
P1
X1
α
a1d1
● ●
c1
●
d1
反映平面对哪 个投影面的夹角？
求点到平面的距离
b d a c s1 k1
k
s'
b
s d a c
投影面垂直面变为投影面平行面
c1 V1 a1
b1
X1
c1 b1 a1
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
需经几次变换？ 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 AB是水平 c 作 图： 线 a2 ● a b
在平面内取一条 一般位置直线变换 V 投影面平行线，经一 成投影面垂直线，需经 次换面后变换成新投 几次变换？ 影面的垂直线，则该 能否只进行一次变换？ a 平面变成新投影面的 垂直面。 X 思考： 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？
c
C
P1 c1 a1d1 b1
X1
d b
A B D
c
X V H
a b c
H P1 X1
.
●
a1b1 .
b2●
●
c2
平面的实形
●
c1
X2轴的位置？ 与其平行
例 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15,求点E的投影
a2
15 b2
e2 d2 c2
e1 e
d
e
d
四、换面法的应用 ( 距离,角度问题 )
1求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 作图:
aa1 X1
⑶ 求新投影的作图方法
更换V面
a

更换H面
a1 XV H
X1 P 1 H
.
a1
ax1
a
ax

V X H
ax
ax1
.
●
H
a
P1 X1
a
作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。
⒉ 点的两次换面
d
c
n
过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大小（60°），因此需将AB与C点所确定 的平面变换成投影面平行面。 c ● 作 图： 几解？ 两解！ a ● 2 a d b
X
V H
a
●
d● c
b
b2●
. .
d2
●
60°
●
D点的投影 如何返回？ c2 如何解？
求C点到直线AB的距离， c 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平 行于投影面，其投影反映 实长。
AD C B abd P X
b a d b a
.
V H
c d a1

距离
H X1 P 1
d1 .

b b1 . a2 2d2
c2
c
如何确定d1 c1 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
d
a
正平线！
b H
把一般位置平面变为投影面垂直面
b
d
b1
a
c b d c
D
V X d1H1 H a1 a c1
d
c
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b a
V X H a b c H X 1 P1 d
.
d
c
作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。
一、换面法的基本概念
二、点的投影变换规律
三、四个基本问题
一、换面法的基本概念
c c1 c1 b1 b1 X a1 X1 V/H 体系变为V1/H 体系 bc a
V1
a1
b
X1
a
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代
替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置， 然后找出其在新投影面上的投影。
P1 P2 X2
求交叉两直线AB与CD的公垂 线
b
1
2
1
2
22
c2 12 a 2b2 d2
c'1
2'1 1'1
d'1
例：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， N 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M
作图：
n ●
● c
●
d
空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影 面时，MN平行于投影面， 这时它的投影m1n1=MN,且 m1n1⊥c1d1。 A
C N
a XV H a c
●
m
b
M
D B a1m1b1
●m ●
n
d b
d1
.
●
a1≡b1≡m1
● ●
P1
.
c1
n1
d1
n1
注意各点的投影 H P 1 如何返回？ X1 求m点是难点。
c1
●
圆半径=MN
例 已知E 到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e
b
k
a e
d
c
n
b a k
X


ax1
H X1
a
a
V1 V 新投影体系 X1 — 旧投影体系 X — H H A点的两个投影：a，a1 A点的两个投影：a， a
⑵
新旧投影之间的关系
a


a
a1
.
V

A
a 1

P1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V X
ax ax1
P1 H X1

H
ax
X


ax1
H X1
a
a
a1ax1 = aax 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。
V A
b
B
X
V
b1
H
b a
X1 H
P1
.
a
H
b
a1
●

b1
●
换H面行吗？ 不行！
新投影轴的位置？
与ab平行。
2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
作图：
b
V H
V
b P2
a2b2

ax2 b1
P1
a b a
⑴ 新投影体系的建立
X2
V
P2
a2
按次序更换 P1


ax2
a

A



a 1

ax
X
a
H

ax1 X1
P X1 —1 先把V面换成平面P1， P1H，得到中间新投影体系: H P1 X2 — 再把H面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系: P2
⑵ 求新投影的作图方法
a
a1b1
● ●
解法相同！ 思考： 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。
H P 1 X1
P2 c1 P1 X 1
求平面ABC和ABD的两面角。
空间及投影分析： 在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交 垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为 时所得两交线之间的夹角。 所求。 d a XV H c a c b