b a
XV H a
b
b1 a1
a2 （b2）
思考题1
a c
V X
H
如何求点C到直线AB的距离？
b
b
a
提示
把一般位置直线变
XV
为投影面垂直线
H
b
b
a
c
a2 b2
a
b1
a1
思考题2
a c
V X
H
c a
如何求两直线AB与CD间的距离？
b
提示
b
a
d
XV H
d
bbaa2来自b2b1 a1例题2 距离。
1 a
三、平面的旋转
1、平面的旋转由不在同一直线上的三点(或其它几何要素组合)的旋转
来决定。必须遵循绕同一轴、按同一方向，旋转同一角度的“三同原则”
，以保证几何元素相对位置不改变。
b′
o′
b1 ′
c′
a′ o′ a1′
c1′
a
oo
c
θ
b
θ a1
b1 c1
2、平面旋转的投影变化规律
当平面图形绕垂直于某一投影面的轴线旋转时，它在该投影面上的投影形状和
§6-3 旋转法
旋转法就是投影面保持不动，将空间几何元 素绕某一轴旋转，使空间几何元素对投影面处在 有利于解题的相对位置。 一、点的旋转规律 二、直线的旋转 1、直线旋转的投影规律 2、直线旋转的投影作图
一 点的旋转规律
1 点绕正垂轴旋转 轨迹圆平行于V面，其V投影反映实形
aa′ ′
V
a′
f o′
a
V1
X
V H
a2
a
a1
a
A
X1 a
a2
a1
四、六个基本问题
1、把一般位置直线变为投影面平行线
例题1
2、把投影面平行线变为投影面垂直线
3、把一般位置直线变为投影面垂直线
思考题1 思考题2 例题2
4、把一般位置平面变为投影面垂直面
例题3
例题4
5、把投影面垂直面变为投影面平行面
6、把一般位置平面变为投影面平行面
换两次，先新轴∥保留投影换成投影面平行线，再新轴 ⊥实长投影换成投影面垂直线
新轴⊥平面上的投影 一般位 面平行线的实长投影 投影面
新轴∥积聚投影
投影面
置平面 可利用积聚性；求平面 垂直面
的α、β，求α作水平线求β
求SC
平行面
作正平线
换两次，先新轴⊥平面上的投影面平行线的实长投影换
成投影面垂直面，再新轴∥积聚投影换成投影面平行面
例题5
1、把一般位置直线变为投影面平行线
b1
a1
A a
V
b
B
a
b1
b H
X a1
b a
X
V H
b
a
例题1 求直线ΑΒ的实长及倾角β。
a
b
XV H
a
b
a1
SC
b1
2、把投影面平行线变为投影面垂直线
V
b a
X
B
A
a1 (b1)
b
a
a1
b1
XV
H
a1 （ b1）
a
b
H
a
b
3 把一般位置直线变为投影面垂直线（投影作图）
H a
b d
c
b d c
d2
c2
例题5 已知点E在△ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
a
V X
H a
15 b2
b
e1
e d
c
a2
e2
sx
d2
c2
b ed
c
换面法小结
一般位 置直线
新轴∥保留投影 投影面 求SC、α、β求α保留 平行线
H投影求β保留V投影
新轴⊥实长投影
可利用积聚性
投影面 垂直线
§5-1 概 述
当直线或平面对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时 ，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其对投影面的 倾角，当它们处于垂直位置时，至少有一个投影具有积聚性 。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影 就不具备上述的特性。
投影变换就是将直线或平面由一般位置变换为和投影面 平行或垂直的位置，从而简便地解决一些定位、度量问题。
二、新投影面的选择原则
V1
a1
X1
c1
b1
A a
V
c
C
a b
X B b c
H
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1、新投影面必须使空间几何元素处于有利解题的位置。 2、新投影面必须垂直于保留投影面。
三、点的投影变换规律
1、点的一次变换 2、点的投影变换规律 3、点的两次变换
1 点的一次变换 V
c
V X
H
1
ac
求两直线AB与CD公垂线的投影及其最短
b d
2
b
H2
d 2
c1 a1
c2
22
12
d2
a2b2
21 d1
b1 11
4、把一般位置平面变 为投影面垂直面
b
V
a
X
b d B
c
A b
a
b1
D C
a
V
X
d1H1 H
a1
a
c1
d
c
H
c
b d c
例题3 求点S到平面ABC的距离。
a
s' XV
H s
b a
a
c
b
三角形实形
c a
d d
a c
c a
d (d) c
θ
a 两平面夹角
c
d a
b
b
ba
b d
c c
d b a
b
b d
b
c
a
直线与平面的交点
§5-2 换面法
换面法就是保持空间几何元素不动，用新的 投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几 何元素处于有利于解题的位置。 一、换面法的基本概念 二、新投影面的选择原则 三、点的投影变换规律 四、六个基本问题
a′
A
a′
fO
A A
o
a
H
2 点的旋转规律
f o′
ao
若点绕某投影面的垂直轴旋转，则点在该投影面上的投影作 圆周运动，在另一投影面上的投影作平行于投影轴的直线运动。
二、直线的旋转
1、直线的 旋转可用直线 上两点的旋转 来决定。且必 须遵循绕同一 轴、按同一方 向，旋转同一 角度的“三同 原则”，以保 证几何元素相 对位置不改变 。
第一次旋转：将A
绕铅垂线旋转成正平 m′
线，M同时旋转。则
b′
m1′n1′⊥a1′b1′垂线已在
作出。
n′
m1′ n1′
为求实长，进 a′ 行第二次旋转，将 AB和M一起绕正垂 线旋转，把AB旋转 成铅垂线。
a
m n
a1′ b m1
a1
n1
a2′
b1′
n2
m2′
b2′
m2
b1 a2b2n2
四、六个基本问题
a′ b′
b1 ′ αa
α B
B1
H
把一般位置直线旋转成投影面平行线
b′ a′
a′b1′∥OX
b1′
X
a
b
O b1
把一般位置平面旋转成投影面垂直面
a′
• 把一般位置平面旋转
成正（铅）垂面,实际上
就是把平面内的一条水
（正）平线旋转为正
b′
（水）平线。求法为：
• 在平面中求一条水平线 （BE）
• 将BE旋转成正垂线B1E1， 求得一个旋转角度。
b′
o′
a′ o′
a oo
θ
b
θ
2、直线旋转的投影规律
b1 ′ a1′
b1 a1
当直线绕垂直于
某一投影面的轴线旋 转时，直线在该投影 面上的投影长度不变. 直线上各点的另一面 投影则作平行于投影 轴的直线运动。
因此直线在 进行绕铅垂线旋转法 投影变换时，其水平 面投影长度不变。 同样道理，直线绕正 垂线进行旋转法投影 变换时，其正投影长 度不变。
第九讲 投影变换
基本要求
§5-1 概 述
§5-2 换面法 §5-3 旋转法
基本要求
（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的 投影变换规律。 （2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实 形及其对投影面的倾角基本作图方法。 （3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间 的定位和度量问题。 （4）了解用旋转法的基本原理及用旋转法求 线段实长的作图方法。
（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实 形及其对投影面的倾角基本作图方法。（体 现在应该先变换哪一个投影面上）
（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间 的定位和度量问题。（这一问题在教材上有 分类总结）
a
37
a
38
习题﹕
P2 P3
a
39
• 以同样大小的旋转角度
将A、C两点绕B点旋转，
b
求得正垂面
A1B1C1(△ABC≌ △
A1B1C1)
a1′
e′ c′ c
e
a1
a
b1′e1′ α
c1′
b1
e1
c1
把投影面垂直面旋转成投影面平行面
a′ b′ c′
b a
c
b1′ a1′
b1
实形
a1
例题 过M点作直线MN与直线AB正交，并求垂线 实长