周期信号的傅里叶变换
周期信号虽然不满足绝对可积的条件， 但其傅里叶变换是存在的。 由于周期信号频谱是 离散的， 所以它的傅里叶变换必然也是离散的， 而且是由一系列冲激信号组成。 下面先 讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。
复指数信号的傅里叶变换
对于复指数信号
f (t) e j 0t
如图 3-26 所示。
f (t)
(1)
．．．
．．．
2T T 0 T 2T
t
(a)
．．．
1 Fn T
．．．
2
02
(b)
图 3 - 26
四、一般周期信号的傅里叶变换
．．．
2
(c)
F(j ) ()
02
对于一般周期为 T 的周期信号 f (t) ，其指数型傅里叶级数展开式为
f (t)
Fn e jn t
n
式中
记为 PT (t) 。试求其频谱函数。
f (t) PT (t)
1
t T / 2 0 /2 T
(a)
F(j )
(b) 图 3 - 27
解 由式 (3-26) 可知，图 3-27(a) 所示周期性矩形脉冲信号 f (t ) PT (t ) 的傅里叶系数
为
n
Fn
Sa( )
T
2
代入式 (3-82) ，得
F( j )
数 Fn 的 2 倍。
可见， 周期信号的频谱是离散的。 但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念， 因此周期
信号 f (t ) 的傅里叶变换 F ( j ) 不同于傅里叶系数 Fn ，它不是有限值，而是冲激函数，
这表明在无穷小的频带范围 ( 即谐频点 ) 取得了无穷大的频谱值。
例 3-20 图 3-27(a) 表示一周期为 T ，脉冲宽度为 ，幅度为 1 的周期性矩形脉冲信号，
e e j 0t
j 0t
f1 (t ) cos 0t 2
t
其频谱函数
1
F1 ( j )
2(
0) 2 (
0)
2
(
0) (
0)
(3- 77)
对于正弦信号
e e j 0t
j 0t
f2 (t ) sin 0t
2j
t
有
1
F2 ( j )
2(
0) 2 (
0)
2j
j(
0) (
0)
(3- 78)
它们的波形及其频谱如图 3-25 所示。
t
因为
1 2 ()
由频移性
1e j 0t
2(
0)
1e j 0t
2(
0)
(3-76)
复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率
ω 0 随时间旋转， 经傅里叶变换
后， 其频谱为集中于 0 ，强度为 2 的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中 的频率转移。
二、余弦、正弦信号的傅里叶变换
对于余弦信号
2
n
P (t )
Sa( ) ( n )
Tn
2
n
2sin( )
2 ( n)
n
n
（ 3-83 ）
式中
2 T 。可见，周期矩形脉冲信号 PT (t) 的傅里叶变换由位于
0, , 2 , 处
的冲激函数所组成，其在
n 处的强度为
n 2 sin( )
2
n
。 图 3-27(b) 给出了
T 2 情况下的频谱图。
f1 (t) cos 0t
1
t
()
． ．．
0
F1( j ) ()
．．．
0
0
-1
f2 (t) sin 0t
1 -1
()
．．．
t
0
图 3 - 25
Im F2 ( j )
．．．
0
0 ()
三、单位冲激序列 T (t ) 的傅里叶变换 若信号 f (t ) 为单位冲激序列，即
f (t ) T (t )
(t nT ) (3-79)
n
则其傅里叶级数展开式为
f (t)
n
1 e j nt T
(3-80)
对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得
1
F( j )
2 ( n)
Tn
( n ) (3-81)
n
式中
2 T。
可见， 时域周期为 T 的单位冲激序列， 其傅里叶变换也是周期冲激序列， 而频域周期为
，冲激强度相等， 均为 。周期单位冲激序列波形、 傅里叶系数 Fn 与频谱函数 F ( j )
2
T
Fn ,
1 T 2 f (t)e jn t dt
T T2
.
对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到
Fn 与时间 t 无关，可得
F(j )
Fn 2 (
n
n) 2
Fn (
n
n ) (3-82)
式(3-82) 表明，一般周期信号的傅里叶变换 ( 频谱函数 ) 是由无穷多个冲激函数组成， 这 些冲激函数位于信号的各谐波频率 n (n 0, 1, 2, ) 处，其强度为相应傅里叶级数系