+
v
+ Fm ++
A+
p
+
B
E
+d
-
B v02 2Ed E
m
带电粒子达到最右端时其轨迹与右侧平板相切，
该处速度方向沿轨迹切线方向，与平板平面平行。
Eq
y
带电粒子在磁场，电场中受力
F
Fe
磁不场做力功。Fm
qvFmB与E速q度 方qv向始B终垂直，
x 电场力作功等于粒子动能的增量：
z
Eqd
2r sin
该力对O点的力矩 dM rdF 0 I 2dl
2 sin
任一段单位长的导线对O点的力矩：
M
l 1
dM
0 I 2dl
0I 2
l 2 sin 2 sin
13
5. 如图所示，有一通有电流 I 的直导线附近，有一半 径为 R，质量为m 的细小线圈。细小线圈可绕通过其 中心与直导线平行的轴转动。直导线与细小线圈中心
两导线间夹角为，通有相同的电流I。试求单位长度的导线
所受磁力对O点的力矩。
解：导线1在 dl 处激发的磁场的大小
1
B 0I 0I
2d 2r sin
I dF
O
I
d
Idl
B 2
r
M
电流元 Idl受到的磁力为
dF Idl B
大小： dF (Idl )B 0 I 2dl
根据：
M
r
F
B 0 i
2
二.磁场的性质
i 为线电流密度
1.
高斯定理
:
B
ds
0,
B 0
无源场;
s
2. 安培环路定理 : B dl 0 I
L
( L包围)
B 0 j
有旋场; 6
三. 磁场力
1. 运动电荷受力:
F
qv
B
2. 电流元受力: dF Idl B F Idl B
3. 载流线圈受磁力矩:
-- 传导电流代数和
本节难点和学习技巧：
（1）矢量叉乘运算较
（2r）电场与r磁场r 、电介质与磁r 介质类比r r
q E,U D, P,r I B, H, M, r
1. 在 xy 平面内,有一宽度为 L 的无限长载流薄金属板,
沿 x 方向单位长度上的电流（线电流密度）为 。
试求: x 轴上 P 点的磁感应强度的大小和方向;
由于磁矩与角位移方向相反，由转动动能定理
0 R2 0II sind 1 mR22
0
2d
4
o
解得
2uoII ' (1 cos )
md
I
I
d o
解：考察如右图所示红色环形微元，其带电量为
dq dS rdr
转动时产生的环形电流为
dI dq rdr 2 2
θ +σ
O
R
A dq ω
B
在O点产生磁感应强度为（安培环路定理或毕奥-萨伐尔定理）
dB 0dI 0 dr 2r 4
总磁感应强度为
B
R
dB
0
R
0
4
方向垂着纸面向外
3 在距离为 d 的两块 大 平 行板中间，存在一均匀电场
解：在x处取宽度为dx的无限载流窄长条；其电流
dI dx
其在 P 点的磁感应强度为：
y
dB 0dI / 2 (L d x) 方向：
整个载流金属板在 P 点的磁场
o
B dB
0L
2
0dx
(L d
x
)
dx
P
dx
0 ln d L , 2 d
方向：
L
9
2. 如图示一扇形薄片，半径为 R ，张角为θ，其 上均匀分布正电荷，电荷密度为σ，薄片绕过角顶O 且垂直于片的轴转动，角速度为ω。求O点处的磁感 应强度。
1 2
mv2
1 2
mv02
11
解得
v
2Ed v02 ,
q
m
在切点处p ，电场力与磁场力方向相反，由牛顿公式，有
an
qvB qE m
(vB E) B 2Ed v02 E
故 p 点处的曲率半径为
r v2
v02 2Ed
, q.
an B v02 2Ed E
m
12
4 如图所示，两根相互绝缘的无限长直导线1和2交接于O点，
L M IS B m B
磁矩:
m
IS
( N匝
m
NIS )
4. 磁力( 矩 ) 的功: W I m I (m 2 m1)
7
5) 磁介质的极化机制——分子电流观点
磁化强度： 磁化电流： 磁场强度：
r M
mvi
r V
j
'
M r
eˆn
r H
B
r M
0
vr
Ñl H dl i Ii
E Ei
和均匀磁场 B Bk , i , k 分别为 x, z 方向的单位矢量，今有一质
量为 m ，带电量为+q 假定此粒子的初速 v0
的能粒保子证从它缝靠隙近右A侧以平初板速而v又0i不与进板入相平碰行，板间试，
证明此粒子在运动轨迹的最右端 P 点的曲率半径为
r
v02 2Ed
式中 q
解答提示
大学物理习题课
——磁学部分
1
3 如图，求 O 点处感应电荷密度 。（纠正）
解：取导体板内很邻近O点的
O'点，直线在O'点产生的电场
dx
E1 d 4 0 x2 4 0d
感应电荷在 O' 点产生的电场
E2 2 0
由总电场 EO E1 E2 0
得 2 d
d
O' O + 直线
导 体
2) 应用安培环路定理 : B dl 0 Ii内
L
(L)
3) 典型磁场 : 长直导线的磁场:
B
0I 4 r
(cos 1
cos2 )
( 有限长 )
B 0 I ( 无限长 ) 2 r
B 0I 4 r
( 半限长 )
4
圆电流轴线上: B 0 I sin 3 ( 方向沿轴线方向 )
2R
B 0I
x
板
本章知识概要
电流密度&稳恒电流概念、电流连续性方程
电流：
电流密度
r J
：
I lim q d q t0 t d t
dI JvdSr
电流连续性方程
J
dS
dqint
S
dt
电磁相互作用和恒定磁场
一.
磁感应强度
B
的计算
1)
叠加法或积分法 : 电流元的磁场分布 dB
0 Idl rˆ 4r 2
2R
( 圆电流中心 )
无限长载流圆柱体: B 0 I r, (r R) 2R 2
B 0I 1 , (r R) 2 r
5
通电螺线管:
B
1 2
0nI (cos 2
cos 1 )
( 有限长轴线上 )
B 0nI ( 无限长管内任一点 )
B
1 2
0nI
( 半限长面中心处 )
无限大均匀载流平面：
相距为d，设 d >> R ，通过小线圈的电流为 I。若开 始时线圈是静止的，它的正法线单位矢量 eˆ n 的方向 与纸面法线单位矢量 eˆ n 成 0 角。问线圈平面转至与
纸面重叠时，其角速度的值为多大？ o
I
I
d o
14
解: 设细小线圈在任意位置与 Bv夹角为 。
所受磁力矩
M mBsin I R2 0I sin 2 d