(1)证明：如图所示，连接EF， ∵AF、BE分别是△ABC的中线， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，且EF＝ ∴△EPF∽△BPA， ∴ 设PF＝m，PE＝n，
则AP＝2m，BP＝2n，
在Rt△APE中，AP2＋EP2＝AE2，
即(2m)2＋n2＝
①
在Rt△APB中，AP2＋PB2＝AB2，
例1(2017·枣庄) 我们知道，任意一个正整数n都可以进
行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的
所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我 p
们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝q . 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2> 4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝3 .
4
将n＝m＋1代入得到m＝2，n＝3，∴D(2，3)，
∴抛物线解析式为y＝
1 4
(x－2)2＋3.
(3)如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时， 根据题意可得，D(2，3)， ∴OA′＝OA＝4，OM＝2， ∴∠A′OM＝60°， ∴∠A′OP＝∠AOP＝30°， ∴MN＝
∴抛物线需要向下平移的距离为 如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时， ∵顶点落在OP上，
问题1：点P1(3，4)到直线y＝
的距离为_____；
问题2：已知⊙C是以点C(2，1)为圆心，1为半径的圆，⊙C
与直线y＝－ 3 x＋b相切，求实数b的值； 问题3：如图，4 设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B
为直线3x＋4y＋5＝0上的两点，且AB＝2，请求出S△ABP的最 大值和最小值．
【自主解答】 (1)证明：对任意一个完全平方数m，
设m＝n2(n为正整数)．
∵|n－n|＝0为最小，∴n×n是m的最佳分解．
∴对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝ n ＝1. n
(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′， 则t′＝10y＋x. ∵t为“吉祥数”， ∴t′－t＝(10y＋x)－(10x＋y)＝9(y－x)＝36， ∴y＝x＋4. ∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数， ∴满足条件的“吉祥数”有：15，26，37，48，59.
先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故 设PF＝m，PE＝n，用m，n把PA，PB分
别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计 算，消去m，n即可得证．
(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程． (2)利用题中的结论，解答下列问题： 在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E， F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M， BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2＋MH2的值．
4
(1)如果一个正整数m是另一个正整数n的平方，我们称正整 数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有 F(m)＝1； (2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减 去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为 “吉祥数”，求所有“吉祥数”； (3)在(2)所得“吉祥数”中，求F(t)的最大值．
【分析】(1)对任意一个完全平方数m，设m＝n2(n为正整 数)，找出m的最佳分解，确定出F(m)的值即可；(2)设交换 t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y ＋x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求 出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的 值，进而确定出F(t)的最大值即可．
∴△AEG∽△CEB，△HDF∽△CBF， ∴ 易得G，H为AD的三等分点， 即AG＝GH＝HD，∴ 又∵GH∥BC，∴△MGH∽△MBC， ∴ ∴MB＝3GM，MC＝3MH.
又∵EF为△AOD中位线，∴ ∴ ∴在△MBC中，E，F分别为MB，MC的中点． 又∵BF⊥CE，利用题中结论可得． MB2＋MC2＝5BC2，即9MG2＋9MH2＝5×32， ∴MG2＋MH2＝5.
4
－m)2＋n经过B，C两点，顶点D在正方形内部．
(1)直接写出点D(m，n)所有的特征线； (2)若点D有一条特征线是y＝x＋1，求此抛 物线的解析式； (3)点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿 着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴 的D点的特征线上时，满足(2)中条件的抛物线向下平移多 少距离，其顶点落在OP上？
(3) ∴所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是 3 .
4
1．(2016·常德)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c， d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋ c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及 它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为 “和点四边形”．现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O， A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的 坐标是_(_1_，__8_)_或__(_－__3_，__－__2_)_或__(_3_，__2_)_．
2．(2016·荆州)阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，
经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的
直线，叫该点的“特征线”．例如，点M(1，3)的特征线
有：x＝1，y＝3，y＝x＋2，y＝－x＋4.
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC， 点B在第一象限，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝ 1 (x
【分析】(1)根据点到直线的距离公式计算；(2)根据点到 直线的距离公式，列出方程即可解决问题；(3)求出圆心C 到直线3x＋4y＋5＝0的距离，求出⊙C上点P到直线3x＋4y ＋5＝0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．
【自主解答】 问题1：4
问题2：直线y＝－ 3 x＋b整理，得3x＋4y－4b＝0， 故A＝3，B＝4，C＝4 －4b.
阅读理解型问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示 其方法规律从而解决新问题．既考查学生的阅读能力、自 学能力，又考查学生的解题能力和数学应用能力．这类题 目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生 的认知规律. 阅读理解题一般是提供一定的材料，或介绍 一个概念，或给出一种解法等，让你在理解材料的基础 上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题．基 本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”．
即(2m)2＋(2n)2＝c2，②
在Rt△BFP中，FD2＋PB2＝BF2，
即(2n)2＋m2＝
③
由②得：4(m2＋n2)＝c2，即m2＋n2＝ ①＋③化简得：5n2＋5m2＝ (a2＋b2)， ∴ (a2＋b2)＝5m2＋5n2＝5(m2＋n2)＝ ∴a2＋b2＝5c2.
(2)解：如图所示，连接EF， 在菱形ABCD中，BC＝3， ∴AC⊥BD，OA＝OC， OB＝OD，AD綊BC. 又E，F分别为线段AO，DO的中点， ∴ 又∵AD∥BC，
请应用以上结论解决下列问题：
如图2，PAB，PCD分别与⊙O2相交于A，B，C，D四点，已知
5
PA＝2，PB＝7，PC＝3，则CD＝__3 _.
类型三 新方法应用型 是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的思想、方法
或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识解决题目中 提运算过程： 计算：1＋2＋22＋…＋210. 解：设S＝1＋2＋22＋…＋210，① ①×2得2S＝2＋22＋23＋…＋211，② ②－①得S＝211－1. 所以1＋2＋22＋…＋210＝211－1. 运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32 017＝______．
2
2
3.一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点
都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M
中”这个事件，那么事件A发生的概率P(A)＝ M .如图，现
D
在等边△ABC内射入一个点，则该点落在△ABC内切圆中的
3
概率是__9___．
4．(2016·随州)如图1，PT与⊙O1相切于点T，PB与⊙O1相 交于A，B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT2＝PA·PB.
东营市中考试题中经常考查阅读理解类的题目．例 如：2016年第18题通过阅读材料提炼新的解题方法；2013 年第6题给出一个新的函数定义求函数值．
类型一 新概念学习型 是指在题目中先构建一个新数学概念(或定义)，然后再
根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生 的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问 题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的 新概念和已有的知识相结合，并进行运用．
例2 (2017·日照)阅读材料： 在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离公式为d＝ 例如：求点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离．
解：由直线4x＋3y－3＝0知，A＝4，B＝3，C＝－3，
∴点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离为 d＝
根据以上材料，解决下列问题：
解：(1)点D(m，n)的特征线是x＝m，y＝n，y＝x＋n－m，y
＝－x＋m＋n.
(2)∵点D有一条特征线是y＝x＋1，
∴n－m＝1，∴n＝m＋1. ∵抛物线解析式为y＝ 1 (x－m)2＋n，
4
∴y＝ 1 (x－m)2＋m＋1.
4
∵四边形OABC是正方形，
1
∴B(2m，2m)，∴ (2m－m)2＋n＝2m.
【分析】令S＝1＋3＋32＋33＋…＋32 017，然后在等式的两 边同时乘3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．
【自主解答】令S＝1＋3＋32＋33＋…＋32 017， 等式两边同时乘3得：3S＝3＋32＋33＋…＋32 018， 两式相减得2S＝32 018－1，∴S＝ 故答案为