牛顿插值法的分析与应用
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一．定义
)(x f 关于i x 的零阶差商
)(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i
j i j j i x x x f x f x x f --=
][][],[
依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i
k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --=
+-+++++]
,,[],,[],,,[111
二. 牛顿插值多项式
设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件
)()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 =
的n 次多项式
)()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N
为Newton 插值多项式，称
],[,)(],,,[)()()(0
10b a x x x x x x f x N x f x E n
j j n n ∈-=-=∏=
为插值余项。

三.算法
步骤1：输入节点（xj ，yj ），精度ξ，计值点xx ，f0→p ，1→T ，1→i ； 步骤2：对k=1，2，……，i 依次计算k 阶均差
f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3：（1）、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ，则p 为最终结果Ni-1(x)，余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。

（2）、否则(xx-xi-1)*T →T ，p+ f[x0,…,xi]*T →p ，转步骤4。

步骤4：若i<n ，则i+1→i ，转步骤2；否则终止。

四.流程
五.程序清单#include"stdio.h"
#define n 4//牛顿插值的次数
void main()
{
float a[n+1][n+2]={0},s=0,t=1,x;
int i,j;
printf("请输入xi及yi的值//要求先输入xi再输入yi然后输入下一组\n"); for(i=0;i<n+1;i++)
for(j=0;j<2;j++)
scanf("%f",&a[i][j]);
for(j=1;j<n+2;j++)//计算各阶均差
for(i=j;i<n+1;i++)
a[i][j+1]=(a[i][j]-a[i-1][j])/(a[i][0]-a[i-j][0]);
printf("输出xi，yi及各阶均差\n");
for(i=0;i<n+1;i++)
{
for(j=0;j<n+2;j++)
printf("%6.5f ",a[i][j]);
printf("\n");
}
printf("输出牛顿插值表达式\n");
printf("N%d(x)=",n);
for(i=0;i<n+1;i++)
{
printf("%6.5f",a[i][i+1]);
for(j=0;j<i;j++)
printf("(x-%3.2f)",a[j][0]);
if(i==n)
break;
printf("+");
}
printf("\n");
printf("输入插值点x=");
scanf("%f",&x);
for(i=0;i<n+1;i++)//计算插值点的近似值 {
for(j=0;j<i;j++)
t*=(x-a[j][0]);s+=a[i][i+1]*t;
}printf("N%d(%4.3f)=%6.5f\n",n,x,s);} 六.程序实现
参考文献:
Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Numerical Analysis (Seventh Edition), Brooks Pub. Co.,2001.
2. 蔡大用，白峰杉. 高等数值分析. 清华大学，，1998.
3. 邓建中，之行. 计算方法（第二版）.交通大学，2001.
4. 旭里. 数值分析. 中南大学，2003.。