三、 高斯白噪声—频域特性

频域特性——近似白噪声
白噪声：功率谱密度在整个频域内都均匀分布 单边功率谱密度函数为： Pn(f)=n0(W/Hz)
Pn（f） n0 0
双边功率谱密度函数 为：Pn(f)=n0/2(W/Hz)
Pn（f） n0/2
f
通信系统中的热噪声，在相当宽的频域内具有 平坦的功率谱，故近似认为是白噪声。
二、统计特性


概率分布 数学期望（均值） 方差 协方差函数 相关函数
1. 概率分布

随机过程ξ(t) 在任一时刻t1的取值是随机变量， 则随机变量ξ(t1)的取值小于等于某一数值x1 的概率为ξ(t)的一维概率分布函数：
F1(x1,t1) P{ (t1) x1}
ξ
(t)的一维概率密度函数：
F1 ( x 1 , t 1 ) f 1 ( x 1 , t1 ) x1
概率分布(续)
ξ (t)的n维概率分布函数和n维概率密度 函数分别是：

Fn (x1, x2 xn ;t1 ,t2 tn ) P{(t1 ) x1, (t2 ) x2 (tn ) xn }
4.概率分布：若ξi(t)是高斯型的，经过线性系统 后的ξo(t)也是高斯型的。
例题

求双边功率谱密度为n0/2(W/Hz)的白噪声通 过理想低通滤波器后的功率谱密度、自相 关函数和噪声功率。
H(f) K
-fH
O
fH
f
二、随机过程通过乘法器(调制器)

平稳随机过程X(t)经过调制器，输出随机过 程Y(t)，Y(t)的功率谱为SY(ω)，自相关函数为 RY(t, t+τ)

特点

a (t)a; R(t1,t2)R(τ)
特点(续)

各态历经性：设x (t)是ξ(t)的任一实现，ξ(t)的统 计平均= x (t)的算术平均
a a lim
T
1 T2 x(t )dt T T 2
T
R( ) R( ) lim
1 T2 x(t ) x(t )dt T T 2
3.2 随机过程
一、概念 二、统计特性
一、概念


样本函数： 随机过程 的一个实现 随机过程： 样本函数 的集合 任意时刻 的取值为随 机变量
S1
S2 Sn
样本空 间
x1 (t) t
x2 (t)
t
(t )

xn (t) t tk
随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角 度，用概率分布和数字特征来描述。


E( X ) xf ( x)dx 定义 物理意义
表示随机变量的均值



性质



C是常数，则E(C)=C。 C是常数，则E(C·X)=C·E(X)。 X 、Y 是 任 意 两 个 随 机 变 量 ， 则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。 X 、Y 是 两个 互 相 独立 的 随 机变 量 ， 则 E(X· Y)=E(X)· E(Y)。
2 X
随机变量X的协方差

定义 C O V ( X , Y ) Ex E ( X )y E ( Y ) E( X Y ) E( X ) E(Y )
E(XY)称相关函数


物理意义
描述两维随机变量(X,Y)的相互关系


几个概念
独立 不相关 正交 f(x,y)=f(x)f(y) COV(X,Y)=0 E(XY)=0
一、随机过程通过线性系统 二、随机过程通过乘法器（调制器）
一、随机过程通过线性系统
随机过程ξi(t)通过线性系统h (t)，其
输出也是随机过程
输入信号 ξi(t) Pi(ω) 系统 h(t) H(ω) 输出信号 ξo (t) Po(ω)
o (t) i (t) h(t)
随机过程通过线性系统(续)
c c c
X
c
c
c
RY(t, t+τ)与t有关，所以Y(t)不平稳，取其时间平均 cos R ( ) R ( t , t ) R ( ) 与t无关， 2
. c Y Y x
SY () RY ( ) 1 SY () [S X ( c ) S X ( c )] 4
意义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所 有可能状态。因此， 只需从任意一个随机过程的样 本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使 “统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算 的问题大为简化。
例题(例3-1)

设一个随机相位的正弦波为 (t) Acos(ct ) 其中，A和c均为常数；是在(0, 2π)内均匀分布的随 机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。 【解】
性质： 若ξi(t)是平稳随机过程，则

1.均值：E[ξo(t)] = E[ξi(t)] H (0)与 t 无关 2.自相关函数：Ro(t1, t1+τ) = Ro(τ) 与t1无关
3.功率谱密度函数：
P () R ( )e

o
j

o
d P () H ()
i
2
1
(2 )
n/2
1 2 ... n B
exp 1/ 2
1 B 2 B j 1 k 1
n
n
( jk
x j aj
x a
k
j
)(
k
k
)




高斯过程只依赖数字特征，即均值和协方差函数 高斯过程若是宽平稳的，也是严平稳的 高斯过程不同时刻的取值若互不相关，则彼此独立 高斯过程经过线性系统后仍是高斯过程 各种起伏噪声，在任一时刻，噪声的振幅都符合 均值a=0的高斯分布，故称为高斯噪声。
随机变量X的方差

定义
D ( X ) E x E ( X ) [ x E ( X )] 2 f ( x ) dx
2


E ( X 2 ) E ( X ) 2



物理意义
表示随机变量与均值的偏离程度

方差一般也 表示，其平方根 X 称为标准方 用差
第三章 随机过程


随机变量 随机过程 平稳随机过程及其特点 高斯过程与高斯白噪声 随机过程通过系统 窄带高斯过程与窄带高斯白噪声 正弦波加窄带高斯噪声
3.1 随机变量
一、概念 二、统计特性 随机变量X，概率密度函数f(x)
三、数字特征 ——数学期望 ——方差 ——协方差
随机变量X的数学期望
fH
f
例题

求随机相位正弦波ξ(t)=Acos(wct+θ)的自相关函数 和功率谱密度,在(0, 2π)内均匀分布。

解：


证明(t)是广义平稳过程 求自相关函数 A2 R( ) cos c 2 2 A 功率谱密度
P () 2
[ ( c ) ( c )]
X (t) S X (w) Cos w c t Y (t) S y (w)
随机过程通过乘法器(续)
R ( t, t ) E[Y (t)Y (t )] E[ X (t) X (t ) cos t cos (t )]
Y c c
E[ X (t) X (t )] [cos cos(2 t )] 2 R ( ) [cos cos(2 t )] 2
f x
1 2π
-x 2 e2

O
a
x
几个定义
定义
概率积分函数： (x) Q函数：
Q(x) 1 2
2
2
x
1
x

exp( z2
z )dz 2 )dz
2
exp (
2
P( x ) Q (
xa

)
误差函数： erf ( x )
互补误差函数： 2 erfc(x) 1 erf ( x )

xx0e z dz2

e
z 2
dz 2Q ( 2 x)
二、高斯白噪声—时域特性

随机过程ξ(t)，在任一时刻的取值（随机变量）都 符合高斯分布，则称ξ(t)服从高斯分布。其n维概率 密度函数为： f n (x1 , x2 ,..., xn；t1 , t 2 ,..., tn )
( t)

a (t )
1 ( t ) 2 (t) n (t)
0
t
3. 方差
D( (t)] E{ (t) E[ (t)]}2 2 (t)
物理意义：表示随机过程在某时刻的取值 （随机变量）对该时刻的期望的偏离程度 (t)
σ (t )
1 ( t ) 2 ( t) n ( t)

ξ(t)的平均功率：S = E[ξ2(t)] = R(0) ξ(t)的直流功率：a2 = E2 [ξ(t)] = R(∞) ξ(t)的交流功率：σ2 = R(0) - R(∞)

相关函数其他性质
R(τ)=R(-τ) | R(τ)|≤R(0)
R(0)为上界
特点(续)

以相关函数表示随机过程的频域特性
j () R() R ( ) e d 即：P P ( ) ξ(t)的功率谱：
维纳-辛钦关系 ξ(t)的平均功率：
1 S 2



P ()d



P ( f )df
Po()
即：平均功率= 功率谱曲线下的面积