(2)因雨速不与淋雨面垂直， 将雨速分解为分别与头顶、 前身垂直的竖直分量������1 、 水平分量������2 ，则������1 = ������ ������������������ ������，������2 = ������ ������������������ ������。 因为������ = ������1 =
������������ ������������������ ������������ ������������������������ ������������������ ������ ������������������ = − 2 ������ ������������������ ������ + ������������������ ������ + ������ + = − 2 ������ ������������������ ������ + ������ ������������ ������ ������ ������������ ������ 因为0 ≤ ������ < 90，所以������ ������������������ ������ + ������ > 0，故 ������������ < 0是减函数。 故当 ������ = ������������ = 5������/������时，W 最小。 当������ = 0 时，������ = 0.0012������3 ，当������ = 30时，������ = 0.0016������3 。 (3)同样将雨速分解为竖直分量������1 、水平分量������2 ，则������1 = ������ ������������������ ������，������2 = ������ ������������������ ������。 因为������ = ������1 =
2
模型建立及求解
本题讨论的的问题是人在雨中沿直线跑一段路程， 若雨速为常数且方向不变， 是否跑得越快淋雨量越少，即在此情况下，通过建立淋雨量与跑步速度、雨速、 降雨量、 跑步距离等相关参数的函数关系，进而进行淋雨量与跑步速度关系的分 析。 需要明确的有降雨量的定义， 淋雨量的定义以及不同雨速方向时的总淋雨面 积。 本题中降雨量指的是雨速方向与淋雨面垂直时，单位时间内在单位淋雨面聚 积的雨水深度。 因人体简化为如上所述的长方体，则淋雨量可视为除脚底所在的 底面外长方体各淋雨表面接收雨水的体积之和。同时，由于雨速方向的不同，人 在行进过程中的淋雨面并不相同。具体模型建立及求解过程如下： (1)降雨淋遍全身即淋雨面为除脚底外另五面面积之和，则 ������ = 2������������ + ������������ + 2������������ ������ ������ ≈ 0.0024������3 ������������
������
所以 ������������������������ ������������������ ������ ������ ������������������ ������ − ������ ������ + ������������������ ������ ������ ������ 用 lingo 编程（见附录一）求解可得： ������ = 当������ = 2������/������时，总淋雨量最少； 当α = 30。 时,W = 0.2405556������ − 03 m3 。 (4)根据问题（3）的关系式，利用 MATLAB 编程（见附录二）画出������取不同值时 的函数图象如下：
模型假设
1.雨速为常数且方向不变。 2.假设人体为一长宽高已知的长方体。 3.降雨量定义为雨速方向与淋雨面垂直时， 单位时间内在单位淋雨面聚积的雨水 深度。 符号说明： 人体高度 a 人体宽度 b 人体厚度 c 跑步距离 d 跑步速度 v 最大跑步速度 ������������ 雨速 u 雨速的竖直分量 ������1 雨速的水平分量 ������2 降雨量 w 总淋雨量 W 雨从迎面吹来时与人体的夹角 ������ 雨从背面吹来时与人体的夹角 ������ 俯视图中雨速与人速的夹角 ������ 降雨量的竖直分量 ������1 降雨量的水平分量 ������2
3
0.03 0.025 0.02 0.015
W轴
0.01 0.005 0 -0.005 -0.01
0
0.5
1
1.5
2
2.5 v轴
3
3.5
4
4.5
(5)参照问题（2），（3）的分析，加入从上向下俯视时雨速与人速的夹角������ 的 考虑，易得
v u sin cos d d u sin sin d W bcw cosθ + wab wac v u v u v
1
������������
������
������
������ ������������������ ������−������ ������ 2
，所以������1 = ������ ������������������ ������, ������2 =
������ ������������������ ������−������ ������
4
Variable V Row 1 2 3

Value 2.000000 Slack or Surplus 0.2405556E-03 2.000000 0.000000
1
������
������
������ 2 +������ ������ 2
，所以������1 = ������ ������������������ ������ , ������2 =
������ ������������������ ������ +������ ������
������
所以 ������ = ������������������1 + ������������������2 ������ ������ ������������������ ������ + ������ ������������ = ������������ ������������������ ������ + ������������ ������ ������ ������
人在雨中行走的淋雨量讨论
摘要
本题讨论的问题是人在雨中沿直线跑一段路程，若雨速为常数且方向不变， 是否跑得越快淋雨量越少，即在此情况下，建立表示淋雨量与跑步速度、雨速、 降雨量、 跑步距离等相关参数的函数关系的数学模型，进而进行淋雨量与跑步速 度关系的分析。 本题中降雨量指的是雨速方向与淋雨面垂直时，单位时间内在单 位淋雨面聚积的雨水深度。 为简化问题， 将人体看做一个高������ = 1.5������ （颈部以下） ， 宽������ = 0.5������，厚������ = 0.2������的长方体，则淋雨量为除底面外长方体表面接收雨水的 总体积。 问题一中，不考虑雨的方向，且假设降雨淋遍全身，人以最大速度������������ 跑完全 程������ = 1000������，则淋雨面为除底面外的另五个面，且雨速分别与五个面垂直。此 时得到淋雨量近似为 0.0024������3 。 问题二中，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ������，则淋雨面为头顶与前身面积之和。因雨速不与淋雨面垂直，将雨速分解为分 别与头顶、前身垂直的竖直分量������1 、水平分量������2 ，此时得到淋雨量与跑步速度等 参数的函数关系为 ������ ������������������ ������ + ������ ������������������ ������ = ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������ 经计算，当 ������ = 5������/������时，W 最小。当������ = 0 时，������ = 0.0012������3 ；当������ = 30时， ������ = 0.0016������3 。 问题三中，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ������ ，则淋雨面为头顶与后背面积之和。因雨速不与淋雨面垂直，同样将雨速分解 为分别与头顶、后背垂直的竖直分量������1 、水平分量������2 ，此时得到淋雨量与跑步速 度等参数的函数关系为 ������������������������ ������������������ ������ ������ ������������������ ������ − ������ ������ ������ = + ������������������ ������ ������ ������ 经计算， 当������ = 2������/������时， 总淋雨量最少； 当α = 30。 时,W = 0.2405556������ − 03 m3 。 问题四中， 以总淋雨量为纵轴， 速度为横轴， 利用 MATLAB 画出 α 分别为 0° ， 10° ，…90°的曲线图。 问题五中， 雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则淋雨面为头顶与前后左 右面积之和，同样将雨速分解为竖直分量������1 、水平分量������2 ，设从上向下俯视时雨 速与人速的夹角为������ ，此时得到淋雨量与跑步速度等参数的函数关系为
v u sin cos d d u sin sin d W bcw cosθ + wab wac v u v u v
关键词：降雨量，淋雨面，雨速，向量分解，淋雨量
1
问题重述
本题讨论的问题是人在雨中沿直线跑一段路程，若雨速为常数且方向不变， 是否跑得越快淋雨量越少。 为方便讨论，将人体简化成一个高������ = 1.5������（颈部以下） ，宽������ = 0.5������，厚 ������ = 0.2������的长方体，已知跑步距离������ = 1000������，跑步最大速度������������ = 5������/������，雨速 ������ = 4������/������，降雨量������ = 2������������/ℎ，记跑步速度为������。之后，按以下步骤进行讨论： （1）不考虑雨的方向，且假设降雨淋遍全身，人以最大速度������������ 跑完全程， 此时估计总淋雨量。 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为������，建 立总淋雨量������ 与速度������及参数 a，b，c，d，u，w，������之间的关系，问速度������多大时， 总降雨量最少。并计算������ = 0，������ = 30。 时的总淋雨量。 （3）雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ������ ， 建立总淋雨量������ 与速度������ 及参数 a，b，c，d，u，w，������之间的关系，问速度������ 多大 时，总降雨量最少。并计算������ = 30。 时的总淋雨量。 （4）以总淋雨量为纵轴，速度������为横轴，对问题（3）作图（考虑������的影响） ， 并解释结果的实际意义。 （5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。