淋雨量与跑步速度关系探究
摘要当大雨来临时，人们总是习惯于拔腿就跑。
摆脱困境的本能迫使我们加快速度，与此同时，日常经验又让我们很多人对跑得越快淋雨就越少这一点深信不疑。
事实是否正如大多数人所想的呢？本文就“淋雨量与跑步速度关系”的问题建立了数学模型，从实际情况出发对不同条件下速度和淋雨量关系做出分析探究。
在问题一中，因为已经假设雨淋遍全身，且速度为最大，所以由题目的已知条件，直接列方程求解。
在问题二中，我们利用最优化原理，建立出一个动态规划模型。
并将该问题分为两部分解答，即：（1）雨从迎面吹来；（2）雨从背面吹来。
同时绘制出第二部分的“淋雨量—速度”图像，方便于快速直观地得到两者关系。
解决该问题的过程中，本文利用了几何中的面积公式及物理中速度的分解等知识，结合题目中的已知条件，列出方程求解。
问题三是问题二的深入，将简单的平面问题升华为空间问题，但处理方法和问题二基本相同，只是增加了空间角，本质没有区别。
本文的特点是在建立模型的基础上层层深入，配合图形，简单明了。
同时，基于本文是建立在严谨的计算之上的，具有一定的可靠性，在很大程度上具有参考价值。
关键词最优化原理动态模型速度选择淋雨量
1.问题的重述
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5米（颈部以下），宽b=0.5米，厚c=0.2
v=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量ω=2cm/h,米。
设跑步距离d=1000米，跑步最大速度
m
记跑步速度为v，讨论以下问题：
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度奔跑，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,ω,θ之
间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。
计算θ=0︒，30︒时
的总淋雨量；雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，
且与人体的夹角是α，如图2。
建立总淋雨量与速度 v及参数
a,b,c,d,u,ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，
计算α=30︒时的总淋雨量。
以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对第二中情况作图，并解释结果的实
际意义。
（3） 若雨线的方向与跑步方向不在同以平面内，模型会有什么变化？
2. 问题的分析
总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。
每个面上的淋雨量等于单位面积，
单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。
面积由已知各边长乘积得出，时间为
总路程与人前行速度的比值。
再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方
程，根据各变量关系，得出最优解。
当雨线方向和跑步方向不在同一平面时，我们设出雨线方向角，按照上述
方法将其分解，同样可以解决问题。
3. 模型的假设和符号说明
3.1模型的假设：
（1）雨速为常数且方向不变；
（2）人体为一个长，宽，高都确定的长方体；
（3）人体跑步速度不受其他因素影响；
（4）降雨量在一定时期内为定值。
3.2符号说明：
a 人体身高
b 人体宽度
c 人体厚度
d 跑步距离
m v 跑步最大速度
u 雨速
ω 降雨量
v 跑步速度
θ 同一平面内，雨从迎面吹来，雨线与人体夹角
α 同一平面内，雨从背面吹来，雨线与人体夹角
t 全过程所花费的时间
s 面积
Q 淋雨量
δ 不同平面内，雨线与跑步方向的夹角
β 雨线在人体正面所在平面内的分量与铅垂线的夹角
4. 模型的建立与求解
4.1问题一：
全身面积 2
2() 2.2s ab bc ac m =++=
淋雨时间 t=d/v=1000/5=200s
降 雨 量 ω=2cm/h=4
1810-m/s
∴淋雨量 Q=st ω=2.2*200*410-/18≈2.44升
4.2问题二：
4.2.1雨从迎面吹来：
顶部淋雨量 1
Q =bcd ω/1cos v θ- 雨速水平分量 u/1sin θ-(方向与v 相反)
合 速 度 u/1sin θ-+v 单位面积时间的淋雨量 ω
（u/1sin θ-+v ）/u 迎面淋雨量2
Q =abd ω(u/1sin θ-+v)/uv ∴总淋雨量 12
Q Q Q =+= bcdw/1cos θ-v+abdw(u/1sin θ-+v)/uv. 在此式子中，只有v 是变量，所以当v 最大，即v=m v 时Q 最小，淋雨量
最少。
0, 1.15Q θ=≈升，, 1.5530Q θ︒
==升。
4.2.2雨从背面吹来
合速度 sin u v α- bdw[cucos α+a(usin α-v)]/uv,v ≤usin α
总淋雨量 Q =
Bdw[cucos α+a(v-usin α)]/uv,v>usin α
若ccos α-asin α<0,即：tan α>c/a,则v=usin α时，Q 最小。
否则，V=m v 时，Q 最小。
（如下图）
usin usin α
当30α︒
=，tan α>0.2/1.5,v=2m/s,Q ≈0.24升最小，可与
v=m v ,Q ≈0.93升相比。
分析结果的实际意义可知，当雨从背面吹来，只要α不太小，满足tan α>c/a,
即：α>7.6︒
时，v=usin α,Q 最小。
此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。
4.3问题三：
该问题中，只举例研究雨从正侧面吹来。
设雨线与跑步速度方向夹角为
δ。
作图如下：
1Q =bcdwsin δcos β/v 雨速水平分量 ucos δ(方向与v 相反)
合 速 度 ucos δ+v 单位面积时 间的淋雨量 ω（ucos δ+v ）/u
2
Q =abd ω(ucos δ+v)/uv 3
Q =acdwsin δsin β/v 所以，
总淋雨量Q =123Q Q Q ++=bcdwsin δcos β/v+abdw(ucos δ+v)/uv+acdwsin δsin β/v
由以上式子可知，当v 最大时，Q 最小。
其他情况与问题二处理类似，利用
速度分解和合成，可以解决。
本质并无区别。
5. 模型的评价
本文问题二与问题三都重点体现了模型的建立,指出了求最优解的思想。
图
形的有效利用，使结果更直观明了。
本文的缺点是限制因素太多，变量过少。
考虑问题也不太全面，致使结果可
能与实际情况不太符合。
但总体来讲，本文的思路和解题方法是正确的，可以为进一步的研究奠定基
础。
参考文献
[]1姜启源，谢金星，叶俊，数学建模（第三版）,北京，高等教育出版社，1987
年4
月，2003年8月
数学建模论文。