淋雨量模型
一、问题的重述
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，
试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化为一个长方体，高a=1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m，
厚c=0.2m，设跑步距离d=1000m,跑步最大速度为v m=5m/s，雨速
u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v,按以下步骤进行讨论：
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹
角为?，如图1。
建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,
?之间的关系，问速度v为多大，总淋雨量最少。
计算?=0,?=30 0时的总淋雨量。
（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体
的夹角为α，如图2。
建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u, w,α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。
计算α＝300时的
淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。
二、问题的分析及思路
根据生活经验：若人静止站在地上，让雨淋着，雨速u越快，时间t越久，就会被淋的越惨，因为雨速与降雨量成正比，所以淋雨
量Q与降雨量w（从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流
失而在水面上积聚的水层深度，称为降雨量）有关，不难想象，若雨斜着落，则Q也会不同，所以Q与雨的方向有关；若人以速度v移动，u、t一定，那么人的身上的水即淋雨量Q就相对变小。
跑的路程d越大，Q也越大，所以Q一定与v、d有关；若w和v都一定，那么一个身体宽大的和一个矮小的站在一起，那么宽大的那个身上的水可能就比矮小的多，所以Q还与被淋面积s有关。
综上所述，淋雨量Q与降雨量w、时间t、被淋面积s有关，可以知道这是一个优化模型。
三、模型假设
为了处理得的方便，可以把问题模型理想化，根据问题性质作如下假设：
1、雨速为常数且方向不变
2、将人体简化为一个长方体，高a=1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m，
厚c=0.2m，设跑步距离d=1000m,跑步最大速度为v m=5m/s，雨
速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，且这些量在一定的时间是不变量，即忽略外界因素的影响。
3、人匀速v跑动。
四、模型建立
将淋雨量Q表示成被淋面积s、被淋时间t和降雨量w有关的函
数，即Q=stw，在此得重点分析被淋面积s，雨速与降雨量成正比，
当雨速为u1时，降雨量w
1 u
1 w，根据不同具体模型，
s有不同表示，u
所以得根据下面不同情况建立Q的函数。
五、模型求解
问题（1）：
因为不考虑雨的方向，所以跑步过程中只有模型底部不会被淋
到，故被淋表面积s=2ab+2ac+bc=2.2m2，又因为以最大速度匀速跑，
故时间t=d=1000/5s=200s，降雨量w=2cm/h=1/180000m/s,所以淋
v m
雨量由表达式Q=stw=2.44L。
问题（2）：
因为雨线与跑步方向在同一个平面且与人体夹角为θ，故由理想条件知只有顶部和正面被淋到雨。
首先分析顶部淋雨量Q1，由图可知此时只有竖直向下的雨速是有
效的雨速，此时为u1=ucos(θ),降雨量为w1=u1/u*w=wcosθ，当速
度为v时，时间t=d/v，面积s1=bc，故Q1=s1*t*w1=(bcdwcosθ)/v，
再分析正面淋雨量Q1，此时只有水平方向的雨量时有效的，由速度
合成可知，相对人的有效雨速 u2=v+usinθ，此时降雨量w2=u2/u*w=w
（usinθ+v）/u，面积s2=ab，故降雨量Q2=s2*t*w2=abdw（usinθ
+v）/（uv），故总淋雨量Q=Q1+Q2=（bdw）*【cucosθ+a（usinθ+v）】
/(uv),v=Vm时Q最小，θ=0.Q≈1.15L，θ=300，Q≈1.55L。
问题3:
同上所知，头部淋雨量Q3=(bcdwcosα)/v，此时，水平方向：
当v>ucosα时，此时相对雨速v-ucosα，正面淋雨量Q4=abdw（v-ucos
α）/（uv）；当v<ucosα时，此时相对雨速ucosα-v，背面淋雨量Q4，=abdw（ucosα-v）/（uv）,故
Q Q3 Q4 b d w c cos a sin /v a/u，v u sin
Q Q3 Q'4 b d w c cos a sin /v a/u，v u sin （1）、当vusin 时，且0°＜﹤90°，可得：ccosα＋asin
α>0
对⑤式求导，易知Q' <0；所以，总淋雨量（Q）随着速度（v）的增加
而减少，
因此，v usin 总淋雨量最小
（2）、当v>usin α时，且0°＜α﹤90°，对（*）式求导，
1.5sin 0.2cos
解得：Q'
2
（180 v）
( ⅰ)、当1.5sinα－0.2cosα<0时，即：tanα<2/15,即Q`<0；从而推出，总淋雨量（Q）随着速度（v）的增加而减少，所以，
速度v=vm，总淋雨量最小。
（ⅱ）、当1.5sinα－0.2cosα>0时，即：tanα>2/15,即Q`>0；从而推出，总淋雨量（Q）随着速度（v）的增加而增加，所以，
当速度（v）取最小，即v=usinα总淋雨量最小。
当α＝30°,当vusin时，由（1）知vusin总淋雨量最小；当v>usinα时，且此时tanα>2/15，由（2）中（ii）知vunis
总淋雨量最小；
综上所述:此时v u sin =2m/s,最小淋雨量Q≈0.24L
问题4：
根据问题3中所求的降雨总量然后对式子分别求导可以可画出图如下：
结果的实际意义：与从背面吹来时，只要满足：tanα>c/a=2/15
则vusin时Q最小，相当于人的前面背面都不会淋雨，只有顶部淋雨
结果分析：
(1):由以上三个模型可知在一定速度下，人跑的越快，淋雨越
少。
(2):当雨线和人跑步方向不在同一方向时，这个模型仍然没有
变化，比如当雨线与人跑步方向垂直且与竖直面夹角为?时，只需要考虑顶部和侧面的淋雨量，此时的做法仍主要是建立直角坐标
系，并分解速度，求出降雨量，再算出淋雨量，方法同上。
(3):当雨线和人的跑步方向不在同一平面时,只需分解为应对几个淋雨面积,用同样的方法建立模型进行求解。
只不过过程较为
繁杂。