高中数学复习讲义第四章平面向量与复数【知识图解】Ⅰ.平面向量知识结构表Ⅱ.复数的知识结构表【方法点拨】由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。

所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。

从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。

复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。

1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.第1课 向量的概念及基本运算【考点导读】1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ，//b c ，则//a c 。

其中，正确命题材的序号是②③2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r得03.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝2133+a b ，OQ u u u r ＝1233+a b (用a 、b 表示)【范例导析】例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r.分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ，由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（1）由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r，代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.例1例2.已知,OA OB u u u r u u u r不共线，OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ,求证：A,P ,B 三点共线的充要条件是1a b +=分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.解：先证必要性：若A,P ,B 三点共线，则存在实数λ，使得AP AB λ=u u u r u u u r ,即()OP OA OB OA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,∴()1,OP OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r ∵OP aOA bOB =+u u ur u u u r u u u r ,∴1,a b λλ=-=，∴ 1.a b +=再证充分性：若 1.a b +=则AP OP OA =-u u u r u u u r u u u r =()()1a OA bOB b OB OA -+=-u u u r u u u r u u u r u u u r=bAB u u u r ,∴AP u u u r 与AB u u u r共线，∴A,P,B 三点共线.点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】1．已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（C ）A. |a |－|b |=|a －b |B. |a |－|b |=|a +b |C.|a |＋|b |=|a －b |D. |a |＋|b |=|a +b |2.设四边形ABCD 中，有1,2DC AB AD BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r则这个四边形是（C ）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形 3.设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：①AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ， ②DB AC BD ++u u u r u u u r u u u r ， ③OA OC OB CO --+-u u u r u u u r u u u r u u u r 。

解析：①原式= ()AB BC CD AC CD AD ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r； ②原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r；③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r。

4.设x 为未知向量， a 、b 为已知向量，x 满足方程2x -(5a +3x -4b )+21a -3b =0， 则x =92a b -+（用a 、b 表示） 5.在四面体O-ABC 中，OA ,OB ,OC ,D a b c ===u u u r u u u r u u u r 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =111244a b c++（用a ，b ，c 表示）6如图平行四边形OADB 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设OA ,OB ,,OM,ON,MN a b a b ==u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r试用表示解：()()11111BM=BC=BA,BM=BA=OA-OB =36666a b ∴-u u u u r u u u r u u u r u u u r Q15OM=OB+BM 66a b ∴=+u u u u r u u u r u u u u r . OD CD ON CD CN 3234,31==∴=Θ()()222ON=OD=OA+OB 333a b ∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r 11MN=ON-OM 26a b ∴=-u u u u r u u u r u u u u r第6题第2课 向量的数量积【考点导读】1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律.3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.【基础练习】1.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3+=a b 132.在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2=+u u u rAB i j ，3=+u u u rAC i kj ，则k 的可能值个数为2个3. 若1=a ,2=b ，a 与b 的夹角为060，若(3+5)⊥a b ()-ma b ，则m 的值为2384.若||1,||2,===+a b c a b ，且⊥c a ，则向量a 与b 的夹角为 120° 【范例导析】例1.已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3=-=-c a b d b a ，试求c 与d 的夹角的余弦值。

分析:利用22=aa 及cos θ⋅=⋅a ba b求解. 解：由题意，1==a b ，且a 与b 的夹角为0120，所以，1cos1202⋅=︒=-a b a b ，()()22222447=⋅=-⋅-=-⋅+=Q c c c a b a b a a b b ∴=c ，同理可得∴=而⋅=c d 2217(2)(3)7322-⋅-=⋅--=-a b b a a b b a ，设θ为c 与d 的夹角，则cos182θ==-点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。

例2.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：()-a b ⊥c ；（2）若||1++>ka b c )(R k ∈，求k 的取值范围.分析:问题（1）通过证明()0-⋅=a b c 证明()-⊥a b c ,问题（2）可以利用()22||++=++ka b c ka b c 解：（1）∵ ||||||1===a b c ，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，∴ 00()||||cos120||||cos1200-⋅=⋅-⋅=-=a b c a c b c a c b c∴ ()0-⋅=a b c（2）∵ ||1++>ka b c ，即2||1++>ka b c也就是22222221+++⋅+⋅+⋅>k a b c ka b ka c b c ∵ 12⋅=⋅=⋅=-a b b c a c ，∴022>-k k 所以 0<k 或2>k ．解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.例3.如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取 何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得()()BP CQ AP AB AQ AC ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,再结合直角三角形和各线段长度特征法解决问题解：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rQ,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222222()1212cos .AP AQ AP AC AB AQ AB ACa AP AC AB APa AP AB AC a PQ BCa PQ BCa a θ=⋅-⋅-⋅+⋅=--⋅+⋅=--⋅-=--⋅=--⋅=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2cos 0,(),..2PQ BC BP CQ a πθθ==⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r故当即与方向相同时最大其最大值为点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算. 【反馈练习】1.已知向量a,b 满足14,2a =,b a b ==g 且,则a 与b 的夹角为3π2.如图，在四边形ABCD 中，||||||4,AB BD DC →→→++=0,AB BD BD DC →→→→⋅=⋅=→→→→=⋅+⋅4||||||||DC BD BD AB ，则→→→⋅+AC DC AB )(的值为43.若向量a,b 满足=1a =b ,a,b 的夹角为60°，则a a +a b g g =324.若向量12,2a =,b a b ==且-,则a b =+6例3第2题5.已知| a |=4,|b |=5,|a +b |=21 ,求：① a ·b ；②(2a －b ) ·(a +3b )解：（1）|a +b |2=（a +b ）2=a 2+2a b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2，∴222102a b a ba b +--==-g（2）（2a －b ）·（a +3b ）=2a 2+5a ·b －3b 2=2|a |2+5a ·b －3|b |2=2×42+5×（－10）－3×52=－93. 6.已知a 与b 都是非零向量，且a +3b 与7a-5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：∵且a +3b 与7a-5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，∴（a +3b ）·（7a-5b ）=0，（a －4b ）·（7a －2b ）=0 ∴7a 2＋16 a ·b －15 b 2=0，7a 2－30 a ·b ＋8 b 2=0， ∴b 2=2 a ·b ，|a |=|b | ∴1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ∴60θ=o第3课 向量的坐标运算【考点导读】1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题. 【基础练习】1若=)8,2(，=)2,7(-，则31=(3,2)-- 2平面向量,a b 中，若(4,3)=-a ，b =1，且5⋅=a b ，则向量b =43(,)55-3.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线，则k=23-4.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)=-b x ，且⊥a b ，则x =1 【范例导析】例1.平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1==-=a b c ，回答下列问题： （1）求满足=+a mb nc 的实数m ,n ； （2）若()()//2+-a kc b a ，求实数k ；（3）若d 满足()()//-+d c a b ，且-=d c ，求d分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.解：（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m （2）()()2,52,2,43-=-++=+a b k k c k a()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k （3）设(),d x y =u r，则()()4,2,1,4=+--=-b a y x c d由题意得()()()()⎩⎨⎧=-+-=---5140124422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧==35y x ∴()()3,153d =-ur 或，点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。