[破题技法] 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问 题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考点三 三角函数的定义
挖掘1 用三角函数的定义求值/ 互动探究
B．cos α<sin α<tan α
C．sin α<cos α<tan α
D．tan α<sin α<cos α
[解析] 如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得， AT>OM>MP，故有sin α<cos α<tan α.
[答案] C
︵︵︵︵ (2)(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中AB，CD，EF，GH是圆 x2＋y2＝1 上的
(2)(2020·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧
长是( )
A．2
B．sin 2
2 C.sin 1
D．2 sin 1
[解析] 如图：∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D.则 ∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1， 在Rt△AOC中，AO＝sin∠ACAOC＝sin1 1， 即r＝sin1 1，从而弧AB的长为l＝α·r＝sin2 1. [答案] C
(2)根据α终边上P的坐标符号：正弦值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横
纵坐标同号，正切值为正；异号正切值为负．
考点四 三角函数线的应用
[例] (1)(2020·石家庄模拟)若－34π<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，
cos α，tan α的大小是( )
A．sin α<tan α<cos α
时，12α为第三象限角，故选C. [答案] C
[破题技法] 象限角的两种判断方法 (1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知 角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已 知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
挖掘2 已知角α的象限，求分角αn的象限/ 自主练透
[例2] 已知sin α＞0，cos α＜0，则12α所在的象限是( )
A．第一象限
B．第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
[解析] 因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，
k∈Z，则π4＋kπ＜12α＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，12α为第一象限角；当k为奇数
②利用三角函数定义求解．
挖掘2 三角函数值符号的判断/ 自主练透
[例2] (1)(2020·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
[解析] ∵π2<2<3<π<4<32π.
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.
∴sin 2·cos 3·tan 4<0.
第三章 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
[基础梳理] 1．任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆__时__针____方向旋转形成的角； ②负角：按__顺__时__针____方向旋转形成的角； ③零角：如果一条射线__没__有__作__任__何__旋__转____，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为： __{β_|_β_＝__α_＋__2_k_π_，__k_∈__Z_}___．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限 答案：C
D．第四象限
4．(基础点：三角函数定义)已知角α的终边过点(－4，3)，则cos α＋sin α＝
________． 答案：－15
考点一 终边相同的角及象限角 挖掘1 求写终边相同的角或区域角/ 自主练透 [例1] (1)(2020·福州模拟)与－2 010°终边相同的最小正角是________． [解析] 因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°， 所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在 0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是 150°. [答案] 150°
︵
︵
在EF上，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，且 cos α＞tan α，满足；在GH上，tan α
＞0，sin α＜0，cos α＜0，不满足．
[答案] C
(3)y＝ sin x－ 23的定义域为________． [解析] ∵sin x≥ 23，作直线 y＝ 23交单位圆于 A、B 两点，连接 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终边的范围，故满足条件的角 x 的集合为 x2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，k∈Z. [答案] x2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，k∈Z
[例1] (1)(2020·大同模拟)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－153，则
x的值为________． [解析] ∵cos α＝ （－x）－2＋x （－6）2＝ x－2＋x36＝－153，
∴xx>2＋x02，36＝12659，解得x＝52.
[答案]
5 2
(2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋co3s α的值为________． [解析] 设α终边上任一点为P(k，－3k)，
④{α|－π2＋kπ≤α≤kπ＋π4，k∈Z}．
[破题技法] 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写 出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得 所需角． 2．表示区间角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写 出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
(4)扇形的弧长及面积公式：
弧长公式：l＝____α_·r_____． 面积公式：S＝___12_l_·r_____＝12α·r2.
3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝__y___， cos α＝_____x_____，tan α＝___xy_(_x_≠__0_)_．
4．四种角的终边关系
(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
[四基自测]
1．(基础点：弧长公式)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )
[答案] A
(2)已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]
由题意可得cos tan
αα<<00，，则scions
αα><00，，所以角α的终边在第二象限，故选B.
[答案] B
[破题技法] 判断三角函数值符号的关键点 (1)确定α的终边所在的象限位置．
则r＝ k2＋（－3k）2＝ 10|k|.
当k＞0时，r＝ 10k，
∴sin α＝－130kk＝－
3， 10
1 cos
α＝
1k0k＝
10，
∴10sin α＋co3s α＝－3 10＋3 10＝0；
当k＜0时，r＝－ 10k，
∴sin α＝－－31k0k＝
3， 10
1 cos
பைடு நூலகம்
α＝－
k10k＝－
10，
A．10π
B．9π
C.91π0
D．109π
答案：D
2．(易错点：终边相同的角的概念)下列与94π的终边相同的角的表达式中正确的是 () A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋54π(k∈Z) 答案：C
3．(基础点：象限符号)若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( )
四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角 α 以 Ox 为始边，OP 为终边．若 tan α＜cos
α＜sin α，则 P 所在的圆弧是( )
︵ A.AB
︵ B.CD
︵ C.EF
︵ D．GH
[解析] 由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，
︵ 在AB上，tan α＞sin α，不满足；
︵ 在CD上，tan α＞sin α，不满足；
(3)(2020·成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数 是________． [解析] 设圆的半径为R，则圆内接正方形的边长为 2R，因此该圆心角的弧度数 是α＝Rl ＝ R2R＝ 2. [答案] 2
(4)若扇形的周长为20，当扇形所在圆的半径为________时， 扇形面积最大，最大值为________． [解析] 由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r， 故S扇＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25， 当r＝5时，S的最大值为25. [答案] 5 25
∴10sin α＋co3s α＝3 10－3 10＝0.
[答案] 0
[破题技法] 1.利用角α终边上一点的坐标求三角函数值，由于点P象限不定，故 讨论象限位置． 2．已知角α的终边求三角函数值，其关键点为： (1)已知角α终边上点P的坐标 ①求P到原点的距离． ②利用三角函数定义求解．