课时规范练23解三角形基础巩固组1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=()A.B.1C.D.22.在△ABC中,已知a cos A=b cos B,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=,AB=2,则S△ABC=()A.3B.2C.3D.64.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B.C.-D.-5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos A+a cos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.5〚导学号21500534〛6.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足-=sin A-sin B,则C=.7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积为S=c,则ab 的最小值为.8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.9.(2017全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.〚导学号21500535〛10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h 能截住该走私船?参考数据综合提升组11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=则C=()A.B.C.D.12.在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则AC=()A.9B.8C.7D.613.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.14.(2017河南郑州一中质检一,理17)已知△ABC外接圆直径为,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°.(1)求的值;(2)若a+b=ab,求△ABC的面积.创新应用组15.(2018福建泉州期末,理10)已知点P是函数f(x)=A sin(ωx+φ)(φ>0)图象上的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点.若cos∠BPC=,则f(x)的图象的对称中心可以是() A.(0,0) B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)16.(2017宁夏银川九中二模,理17)已知函数f(x)=sin ωx-2sin2+m(ω>0)的最小正周期为3π 当x∈[0 π]时,函数f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cos B+cos(A-C),求sin A的值.〚导学号21500536〛参考答案课时规范练23解三角形1.B由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.D∵a cos A=b cos B,∴sin A cos A=sin B cos B,∴sin 2A=sin 2B,∴A=B,或2A+2B=180°,即A+B=90°,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.C∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B,即7=4+BD2-2BD,∴BD=3或-1(舍去),可得BC=6,∴S△ABC=AB·BC·sin B=×2×6×=3.4.C(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cos A=-==-,故选C.(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=.设∠DAC=α,则∠BAC=α+.∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=AD.∴sin α=,cos α=.∴cos∠BAC=cos=cos αcos-sin αsin(cos α-sin α)=-=-,故选C.5.D∵b cos A+a cos B=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×-+a×-=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6.在△ABC中,∵-=sin A-sin B,∴-=a-b,∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=-,∴C=.7.12在△ABC中,由条件并结合正弦定理可得2sin C cos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B,即2sin C cos B=2sin B cos C+2sin C cos B+sin B,∴2sin B cos C+sin B=0,∴cos C=-,C=.由于△ABC的面积为S=ab·sin C=ab=c,∴c=ab.再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cos C,整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当a=b时,取等号,∴ab≥12 故答案为12.8.在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos π-α),解得cos α=,则sin α=,所以tan α=.9.解 (1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.10.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=,所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.11.B由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin A cosC+cos A sin C+sin A sin C-sin A cos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A∈ 0 π 所以A=.由正弦定理,得,即sin C=,所以C=,故选B.12.D设∠B=θ,则∠ADC=2θ,在△ADC中,由,所以AC=8cos θ,在△ABC中,由,可得,所以16cos2θ=9,可得cos θ=,所以AC=8×=6.故选D.13.150在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100 m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理,得,因此AM=100 m.在Rt△MNA中,AM=100 m,∠MAN=60°,由=sin 60°,得MN=100=150(m).14.解 (1)由正弦定理可得=2R=,∴=2R=.(2)由正弦定理可得,∴c=2.由余弦定理可得22=a2+b2-2ab cos 60°,化为a2+b2-ab=4.又a+b=ab,∴(a+b)2-3ab=a2b2-3ab=4,解得ab=4.∴△ABC的面积S=ab sin C=×4×sin 60°=.15.C如图,取BC的中点D,连接PD,则PD=4.设BD=x,则PB=PC=.由余弦定理可得,(2x)2=()+()2-2()2cos∠BPC,解得x=3(负值舍去).则B-,-2,C ,-2,故BP,CP的中点都是f(x)图象的对称中心.故选C.16.解 (1)f(x)=sin ωx-2sin2+m=sin ωx-1+cos ωx+m=2sin-1+m.依题意=3π ω=,所以f(x)=2sin-1+m.当x∈[0 π]时,≤sin≤1所以f(x)的最小值为m.依题意,m=0.所以f(x)=2sin-1.(2)因为f(C)=2sin-1=1,所以sin=1.而,所以.解得C=.在Rt△ABC中,因为A+B=,2sin2B=cos B+cos(A-C), 所以2cos2A-sin A-sin A=0,解得sin A=-.因为0<sin A<1,所以sin A=-.。