二次函数相关的最值问题2例1.如图，抛物线y = —x —4x+ 5与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点. 求直线AC的解析式及顶点D的坐标；若Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA QC求|QA—QC|的最大值及此时点Q的坐标;(3)连接CD点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PE//x轴交直线AC于点E,作PF//CD交直线AC于点F,当线段PE+ PF取最大值时，求点P的坐标及线段EF的长；⑷在⑶K,连接0L3问的条件下，将KH求线段(5)在⑶+ P' E'+ E 问的条件下，将线段PE沿着直线B取最小值时点E'的坐标.针对训练2 1 .如图，直线y= kx + b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A( —4, 0)、B(0 , 3)，抛物线y=—x + 2x + 1与y 轴交于点C.⑴求直线y = kx + b的解析式；(2) 若点P(x , y)是抛物线y = —x2+ 2x+ 1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x 的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3) 若点E在抛物线y = —x2+ 2x + 1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+ EF的最小值.2 .如图①，已知抛物线y =—身x2+ ^3~x + 3与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD过点D作DH Lx轴于点H,过点A作AEL AC 交DH的延长线于点E.⑴求线段DE的长度；(2)如图②，试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为线段PF上方抛物线上的一点，求当△ CPF的周长最小时，△ MPF面积的最大值是多少.① ②3.如图，对称轴为直线x= 2的抛物线经过A( —1, 0) , C(0, 5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0, 1), E(a，0)，F(a + 1, 0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式；4. 已知，如图，二次函数y = ax2+ 2ax—3a(a丰0)图象的顶点为H,与x轴交于A B两点(B点在A点右侧)，点H B关于直线I : y = #x + 3对称.(1) 求A、B两点坐标，并证明点A在直线I上；(2) 求二次函数的解析式；(3) 过点B作直线BK// AH交直线I于点K, M N分别为直线AH和直线I上的两个动点，连接HN NM MK求HW NW MK和的最小值.1 2 l5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= —2X + 2x + 3与x轴交于A, B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,连接BC,过点A作AD// BC交y轴于点D.⑴求平行线AD BC之间的距离；(2)点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△ PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止•当点Q的运动路径最短时，求点Q经过的最短路径的长.6. 如图，抛物线y= —fx2—9x + 3 3交x轴于A B两点，交y轴于点C,点Q为顶点，点D为点C关于对称轴的对称点.⑴求点D的坐标和tan / ABC的值；(2)若点P是抛物线上位于点B D之间的一个动点(不与B D重合)，在直线BC上有一动点E,在x 轴上有一动点F.当四边形ABPD的面积最大时，一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿iE^F的G 路径运动到点F,再沿线段FA以每秒2个单位的速度运动到在运动过程中所用时间最少？二次函数相关的最值问题答案2 2 2例 1.解：(1) T y = —x —4x + 5 =—(x + 4x) + 5 =—(x+ 2) + 9, •- D( —2, 9).当x = 0 时，y = 5,二qo , 5).当y = 0 时，X1= 1, x = —5,「. A—5, 0), B(1 , 0),• y AC= x + 5;(2)因为点Q在抛物线对称轴上，由抛物线对称性知QA= QB由C(0 , 5)和政1 , 0)可求得y BC=—5x + 5 ,根据三角形三边关系可知，当点Q, C, B三点共线时，| QE—QC最大，即| QA- QC最大，可求直线y BC=—5x+ 5与抛物线对称轴交点Q为(—2 , 15),此时| QA- QC最大值=BC= 26.解：(3)过P作PQ// y轴，交AC于Q 再作FML PQ于M如图①,直线AC y= x + 5，设P(t , —t2—4t + 5) , Qt, t + 5),• PQ= ( —t2—4t + 5) —(t + 5) = —t2—5t.•••/ PEF=Z CAO= 45°,「. PE= PQ=—t2—5t ,1■/ PF/ CD • k cD=—2 = k pF, • tan / MP= 2，设FM= n = MQ 贝卩PM= 2n, PQ= 3n, PF= 5n,即PF=^PQ • PE^ PF= (3 + 5)n= (1 +£)PQ•••当PQ最大时，P曰PF取最大值，而PQ=—t2—5t = PE=—t + 2 + 25,P曰PF取最大值,此时P - 2354，EF= 2PM k(4)如图②：在⑶ 问的条件下, 5 35 -2盲，••• H—2，8［，作H关于y轴的对称点H,作O关于抛物线对称轴对称点O,所以0( —4, 0)，H 2，8，连接0H,贝U 0H长即为0』LK+ KH的最小值,直线0H: y = 16 64 —x亠13 十13,•直线0H与抛物线对称轴交点即为L点的位置，此时0L+ LK+ KH的最小值=0H= 討17;(5)在(3)问的条件下,P，E= PE= 25,⑵ 过点P 作PH L AB 于点H 过点H 作x 轴的平行线 MN 分别过点 A P 作MN 的垂线段，垂足分别为 M N⑶ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,作点C 关于直线x = 1的对称点 C ，过点C'作C F 丄AB 于F .过点F 作JK// x 轴，分别过点 A 、C'作AJ L JK 于点J , C K 丄JK 于点K 则C (2 , 1).3 设 F (m 4m 1 3),•/ C F L AB •••/ AFJ+Z C FK= 90°,T C K 丄 JK ,「./ C'+/ C' FK= 90 ° ,•••/ C ，=Z AFJ,vZ J = Z K = 90°,.山 AF4A FC K37m* 3 , c 4 m * 4 82 — m =3 ,解得 m=亦或 m=- 4(不符合题意，舍去).；m * 2414,••<' (2 , 1)，• FC = £1 C 曰EF 的最小值=C F =質5在线段PE 平移过程中，PE 即P' E'长度不变,D f将DP 沿P' E'向右平移 PE 的长即 单位，得到D E',如图③,则四边形D' DP E'为平行四边形， 故 DP = D' E',要使得 DP * P' E'+ E'B 最小，即 DP * E'B 最小, 即要使D' E'* E'B 最小，当D',E', B 三点共线时，D' E ' * E'B 最小， 设D' B 与直线AC 交于点E 〃.门7 、3636 由题意知D , 9，直线BD : y =-\ 101 ，即点E'的坐标为（灰 ， 23••• E 〃 23， 针对训练：1. 解: 4216 23" 13'216 _2?)'/ f ,么 0B(1) •••直线 y = kx * b 经过 A - 4 , 0)、B (0 , 3), 3 k = 4，34•- y =4X * 3.••厂 4k * b = 0，解得]b = 3，[b = 3.3 33设 H (m 4m * 3)，贝U M — 4, 3) , N (x , 4m * 3), P (x , - x 2+ 2x + 1).•/ PHLABPHN-Z AHI = 90° ,••• AM L MN MA *Z AHI = 90° .• Z MA ==Z PHN T Z AM =Z PN = 90° , •△ AMH^A HNP ••• MA/ y 轴，•△ MA HA OBANH PN PH• △ OBA^ NHP •H B 32(；m * 3)- (- x * 2x * 1)x - m 4d :5.A 4 2 8 57整理得：d = x - x*;，所以当x=：时，d 取最小值，此时 5 5 119 只8,丽).>X>?=-^+2^+1• AJ _ _J^ • F T CK • F (285,NE；O2.解：(1)对于抛物线 y =—fx 2 + + 3,令 x = 0,得 y = ^3,g 卩 qo ,西),D 2，护), • DH= 3, 令 y = 0,即一+ - x + 3 = 0，得 X 1=— 1 , X 2= 3 ,• A — 1, 0), B (3 , 0), v AE! AC EH! AH • △ AC®A EAH•匹O 即二=i AH EH 3 EH解得：EH= 3 ,则 DE= 2 3;⑵如图②，找点 C 关于DE 的对称点N(4，羽)，找点C 关于AE 的对称点G — 2，—护), 连接GN 交AE 于点F ,交DE 于点P ,即G F 、P N 四点共线时，△ CPF 的周长=CF F PF + CP= GF F PF + PN 最小， 直线GN 的解析式：y =f x —电3;直线 AE 的解析式：y =过点M 作y 轴的平行线交 FH 于点Q 设点 Mm — fm + ^y^m F 3), 则 Qm fm-1x/3 2 V 3 4 \[3&MF = S ^MQF + S ^MQ = ~MQ< 2= MQ =—〒m + wm+ ~3^2 3 3 3 1 1•••对称轴为直线 m = 2,而O w 寸2,抛物线开口向下，• m= *时，△ MPF 的面积有最大值，为 —12*--3.解：(1) T 对称轴为直线 x = 2,「.设抛物线解析式为 9m+ k=0 解得 P=— J • y =— (x — 2)2 +9=— x 2+ 4x + 5.4m + k = 5 ,k = 9 ,2 ••• M 0 , 1) , C (0 , 5), △ PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，•••点P 的纵坐标为3.令y =— x 2 + 4x + 5= 3,解得x = 2± . 6. v 点P 在第一象限，二P (2 +'. 6, 3). 四边形PMEF 勺四条边中，PM EF 长度固定，因此只要 MB PF 最小，则四边形 PMEF 勺周长最小. 如图，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M (1 , 1); 作点M 关于x 轴的对称点M ,则M (1 , — 1);连接P 皿与x 轴交于F 点，此时 MEF PF = PM 最小.设直线PM 的解析式为y = mx+ n ,将P (2 + 6, 3) , M (1 , — 1)代入得：联立得：F (0,P (2 ,-fx —电3;直线DE 的解析式：x = 2.D 〒N将 A ( — 1 , 0) , C (0 , 5)代入得: < 2)；5.解：⑴令 y = 0,即一夕2+〔 2x + 3= 0,解得：x i =— 2, X 2 = 3 厶 2,• A — 2, 0) , B (3 .2, 0) ,••当 x = 0 时，y = 3 , • C (0 , 3),在 Rt △ BOC 中, BO= 3 2 , CO= 3, • BC = 3 3 ,:(2+&) n = 3 ,n =— 1,46 — 4 4 6+ 1解得：m =, n = ----- :5 54 \IQ — 44 \[Q + 1• y =^^x —^^.当y = 0时，解得x =」+^. • H 亠6+5, 0).• a + 1=¥, • a =亍.• a =¥时, 4 4 4四边形PME 周长最小.y八c\AjO E ；/FM224.解：(1)依题意，得 ax + 2ax — 3a = 0(a z 0),解得 刘=—3 , X 2= 1 , • B 点在A 点右侧，二A 点坐标为(一3 , 0), B 点坐标为(1 , 0), 证明：••直线l : y =£x + 3 , 当 x =— 3 时，y =f x ( — 3) + 3= 0，•点 A 在直线 I 上. ⑵过顶点H 作HCL AB 交AB 于 C 点， ••点H 、B 关于过A 点的直线l : y = -3-x + 3对称，• AH = AB= 4 , 又••点H 为抛物线顶点，则点 H 在抛物线对称轴上， • AHh BHh AB= 4.在 Rt △ ACH 中, 由勾股定理得 c* ,A H — A C = 2 3, •顶点 H ( — 1 , 2 3), 代入二次函数解析式，解得 a =— -2，•二次函数解析式为 y =— -^x 2— 3x +宁(3)直线AH 的解析式为y = 3x + 3 "3, 直线BK 的解析式为y = .3x — ,3, 由+ ,3,x = 3, 解得1 厂 旳=2羽, y = ,3x — 3 , 即 K (3 , 2 3),贝U ••点H 、B 关于直线 过点K 作KDL x 轴于D,作点K 关于直线AH 的对称点Q 连接QK 交 直线AH 于E , 则 KE= KD= 2 3 , QM= MK QE= EK = 2 3 , AE ± QK • BW MK 的最小值是 BQ 即BQ 的长是HN^ NW MK 的最小值， • BK// AH BK(=Z HE = 90° , 由勾股定理得 QB= 8, • HN^ NW MK 的最小值为8.B2 4, AK 对称，••• HN^ MN 的最小值是MB y/\BD x5 )，••• sin / CB =务.因为 AD// BC •- sin Z BA*sin Z CB&-33.3 过 B 作 BHL AD 于点 H, • sin Z BAD=磐 飞3 , • BH= 6; AB 3 3•平行线AD BC 间的距离为4 品 ⑵过P 作PQ/ y 轴，交BC 于点Q, 设 P (m , — 1m i + 2n u 3), •••直线 BC y =— #x + 3, • Qn - #n u 3), 1 •- S\ PCB = 2 • PQ ・(X B — X C )=当m= —2-时，S\ CPB 最大，此时，R ”3.2-2m +才 3 ■ 2 15厂，T )- m ), 取点B 关于AD 的对称点B',将B'沿B' B 方向平移4■竿3个单位长度得B'',此时B''与点代5子,3—3）重合. 连接HP 交BC 于点M 点M 即为所求. •••（ PMF NW BN 最小=PH+ M = 5937+^V 6 6.解：⑴令一#x 2— |x + 3 3= 0，解得 x i =— 4 3 X 2= 3 ,• A — 4 3, 0) , 0 3, 0),在y =—予2-条+ 3 3中，令x = 0,则y = 3 3, • C (0 , 3 3) , • OC= 3 3, BO= 3, 亠〜 OC 在 Rt △ COE 中, • tan Z AB(= 3, OB由y =— -^x 2 — 4x + 3 3知，对称轴直线为 x =— 3 2" •••点 D( — 3 .3, 3 3);3 y = —4x +⑵ 由耳3 , 0) , Q — 3 3 , 3 3)可得直线BD 解析式 过P 作PK 1 x 轴交BD 于点K ,设P (m —子用—9m+ 3 3),贝U K ( m S 四边形 ABPD = S\ ABD + S A PBD , S A ABD 是定值, • S 四边形 ABPD 最大时, 即 S A PBD 最大. ci3 2 厂 27 S A PBD = 2( X B — X D )( y p — yR =—尹―3 pnu-^ , 3 33—严于),当 m=— 2a =— .3时，S A PBD 最大，此时点 P 坐标为（—.3 , 9 2 3）- 作点 P （-& ,呼 ）关于直线 BC 的对称点 P'（—计,24 ；3以A 为顶点，在x 轴下方作Z BAF 30 ° , 过P'作直线AT 的垂线分别交BC x 轴于点E 、F , 此时，点G 在运动过程中所用时间最少，一 小24点F 坐标为（一布—, 0） •5 )，。