重庆市 2015 年中考数学26 题 --- 二次函数综合题专题练习一
1. （ 2015?沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3 与x 轴
0.交于点A（ -3 ， 0）、 C（ 1， 0），与y 轴交于点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A、 B 重合），过点P 作x 轴的垂线，
垂足为点F，交直线AB于
点E，作PD⊥ AB于
点
D．
①过点P 在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P 点的坐标；
②连接 PA，以 PA为边作正方形 APMN，当顶点 M或 N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的 P 点的坐标．
2 (2014 河南）. 如图，抛物线y=－ x2+bx+c 与 x 轴交于 A (- 1,0),B(5,0 ）两点，直线y=－3
x+3 4
与 y 轴交于点C，，与 x 轴交于点 D. 点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作 PF⊥ x 轴于点 F ，交直线CD 于点 E. 设点 P 的横坐标为m。

（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）若 PE =5 EF, 求 m 的值；
（ 3）若点 E/是点 E 关于直线PC 的对称点、是否存在点P，使点 E /落在 y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

y
P
C
E
A B
O F D X
3．（ 2014?哈尔滨）如图，在平面直角坐标中，点 O 为坐标原点，直线 y= ﹣ x+4 与 x 轴交于点
A ，过点 A 的抛物线 y=ax 2
+bx 与直线 y= ﹣ x+4 交于另一点 B ，且点 B 的横坐标为 1．
（ 1）求 a ， b 的值；
（ 2）点 P 是线段 AB 上一动点（点 P 不与点 A 、B 重合），过点 P 作 PM ∥ OB 交第一象限 内的抛物线于点 M ，过点 M 作 MC ⊥ x 轴于点 C ，交 AB 于点 N ，过点 P 作 PF ⊥ MC 于点 F ，设 PF 的长为 t ， MN 的长为 d ，求 d 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取
值范围）；
（ 3）在（ 2）的条件下，当 S △ACN =S △PMN 时，连接 ON ，点 Q 在线段 BP 上，过点 Q 作 QR ∥ MN 交 ON 于点 R ，连接 MQ 、 BR ，当 ∠ MQR ﹣∠ BRN=45 °时，求点 R 的坐标．
4．如图①，已知抛物线y＝ ax2＋ bx(a≠ 0)经过 A(3， 0)、 B (4，4)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2) 将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求
m 的值及点 D 的坐标；
(3) 如图②，若点 N 在抛物线上，且∠ NBO ＝∠ A BO，则在 (2)的条件下，求出所有满
足△ POD ∽△ NOB 的点 P 的坐标 (点 P、 O、 D 分别与点 N、 O、 B 对应 )．
y y
B B
N
O A
x O A x
D D
第 22 题图①第22题图②
5．（2014?龙岩）如图①，双曲线y=（k≠0）和抛物线y=ax 2+bx（a≠0）交于A、 B、C 三
点，其中B（ 3， 1）， C（﹣ 1，﹣ 3），直线 CO交双曲线于另一点D，抛物线与x 轴交于另一
点 E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）抛物线在第一象限部分是否存在点 P，使得∠ POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足
条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②过 B 作直线 l ⊥OB，过点 D 作 DF⊥l于点 F， BD与 OF交于点 N，求的值．
6、如图，抛物线 y=－ x2+bx+c 与 x 轴交点为 A（﹣ 2，0），与 y 轴的交点为 C，对称轴是 x=3，对称轴与 x 轴交于点 B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过 B， C的直线 l 平移后与抛物线交于点M，与 x 轴交于点N，当以 B， C，M， N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点 D 在 x 轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△ PBD≌△ PBC？若存在，直接写出
点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
7． (2014 年福建漳州 ) 已知抛物线l ：y=ax 2+bx+c（ a， b， c 均不为 0）的顶点为M，与 y 轴的交点为N，我们称以 N 为顶点，对称轴是y 轴且过点M的抛物线为抛物线l 的衍生抛物线，直线 MN为抛物线l 的衍生直线．
（1）如图，抛物线 y=x 2﹣ 2x﹣ 3 的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是； 2
的解析式；
2
线 MN先绕点 N旋转到与x 轴平行，再沿y 轴向上平移 1 个单位得直线n， P 是直线 n 上的动点，是否存在点P，使△ POM为直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
8．（2014?贵港）如图，抛物线y=ax 2+bx﹣ 3a（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣ 1， 0）和点 B，与 y 轴交于点 C（ 0， 2），连接 BC．
（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；
（2）将线段 BC先向左平移 2 个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点 C
1 恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和 m的值；
（3）若点 P 是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P， Q，B， C 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P 的坐标．
9．（2014?贺州）二次函数图象的顶点在原点O，经过点 A（ 1，）；点 F（ 0，1）在 y 轴上．直线 y=﹣ 1 与 y 轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
y=﹣ 1 交于点M，求证：FM （2）点 P 是（ 1）中图象上的点，过点P 作 x 轴的垂线与直线
平分∠ OFP；
（3）当△ FPM是等边三角形时，求P 点的坐标．
10. （2014 南宁）在平面直角坐标系中, 抛 物 线 y x 2 + k
1 x k 与 直 线 y kx
1
交于 A , B 两点，点 A 在点 B 的左侧 .
(1)
如图 12 1
，当 k
1
．．． ．
A ，
B 两点的坐标；
时，直接写出
(2) 在 (1) 的条件下， 点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线
AB 下方，试求出△
ABP 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
(3) 如图 12 2 ，抛物线
y x 2 + k 1 x k k
0 与 x 轴交于 C ，D 两点（点 C
在点 D 的左侧） . 在直 线 y kx 1上 是否存 在唯一 一点 Q ，使得∠ OQC =90°？
若存在，请求出此时
k 的值；若不存在，请说明理由
.
11．（ 2014?贵阳）如图，经过点A（ 0，﹣ 6）的抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴相交于B（﹣ 2，0），C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）将（ 1）中求得的抛物线向左平移 1 个单位长度，再向上平移m（m＞ 0）个单位长度得
到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点 P 在△ ABC内，求 m的取值范围；
（3）在（ 2）的结论下，新抛物线 y1上是否存在点 Q，使得△ QAB是以 AB为底边的等腰三
角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．
12． (2014 年贵州黔西南州) 已知点P（ x0， y0）和直线y=kx+b ，则点P 到直线y=kx+b 的距离 d 可用公式d= 计算．
例如：求点P（﹣ 2， 1）到直线 y=x+1 的距离．
k=1， b=1．
解：因为直线y=x+1 可变形为x﹣ y+1=0，其中
所以点 P（﹣ 2，1）到直线y=x+1 的距离为
d= = ==．
根据以上材料，求：
（1）点 P（ 1，1）到直线 y=3x﹣ 2 的距离，并说明点 P 与直线的位置关系；
（2）点 P（ 2，﹣ 1）到直线 y=2x ﹣ 1 的距离；
（3）已知直线 y=﹣ x+1 与 y=﹣ x+3 平行，求这两条直线的距离．
13.(2014年贵州黔西南州) 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣
3， 0）、 B（ 1， 0）、C（ 0，3）三点，其顶点为 D，连接 AD，点 P 是线段 AD上一个动点（不与 A、 D 重合），过点 P 作 y 轴的垂线，垂足点为 E，连接 AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）如果 P 点的坐标为（ x，y），△ PAE 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，直接写出自变量 x 的取值范围，并求出 S 的最大值；
（3）在（ 2）的条件下，当S 取到最大值时，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为F，连接 EF，
把△ PEF 沿直线 EF 折叠，点P 的对应点为点P′，求出 P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．。