广东省清远市第一中学实验学校2020届高三数学上学期第四次月考试题 理考试时间：120分钟,满分150分第Ⅰ卷（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{}{}12345,246A B ==，，，，，，， P A B =⋂，则集合P 的子集有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 2、不等式1121x x -≤+的解集为（ ） A. (]1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭ B. 12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. ][1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭ D. 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知b a >，0<c ，那么下列不等式成立的是（ ）A ．22b a > B. ba 11> C. cbc a -<- D. c bc a <4．已知ABC ∆中，3263π===B ,c ,b ，那么角A 大小为（ ）A ．6π B. 12π C. 3π D. 4π 5．已知正方形ABCD ，点E 为BC 中点，若μλ+=，那么μλ等于（ ）A ．2B ．32C ．21D ．316．已知直线c ,b ,a ，平面βα,，那么下列所给命题正确的是（ ） A ．如果,b c ,b a ⊥⊥那么c //a B. 如果α⊥a ,b //a ，那么α⊥b C. 如果αβα⊥⊥a ,，那么β//a D. 如果ab ,//a ⊥α，那么α⊥b7.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ） A. 15 B.14 C. 13 D. 128．已知偶函数f (x )满足：当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立． 设a ＝f (－4)，b ＝f (1)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<b<a9．已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图象如图所示，则函数y＝log a(x＋b)的图象可能是( ) 10.已知数列{}na满足nnaa31=+，且9642=⋅⋅aaa，则=++937353logloglog aaa（） A．5 B．6 C．8 D．1111.若θ∈,且cos 2θ=sin,则sin 2θ=()A. B.- C. D.-12.若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a，x≤0，ln x，x＞0有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A．()1,0 B．(]1,0C．[)0,1- D．[]1,1-第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知3>x，那么函数331-+-=xxy的最小值是；14．向量a，b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则⋅=a b；15.为得到函数的图象,要将函数的图象向右平移至少ab个单位。

16.已知12F F 、为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 作的直线交椭圆于A B 、两点，若2212F A F B +=，则AB = 。

三．解答题：（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17．（12分）在△ABC 中，∠A=60°，c=a ． （1）求sinC 的值；（2）若a=7，求△ABC 的面积．18.（12分）已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2340a a ⋅=，426S =,数列{}n b 的前n 项和()122n n T n N +*=-∈。

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n M ．19. （12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE=3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值．20.（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为34，离心率为23（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线L 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若MB AM 2=，求直线L 的方程．21.（12分）设函数()xf x e =， ()lng x x =．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有，求实数a 的取值范围．22.（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点极坐标为(3,)4π，曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-（θ为参数）．（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：2cos 4sin ρθρθ+=的距离的最小值．最新学年度高三12月数学（理）试卷答案 一．选择题（每小题5分，共60分）1—5 B A D B A 6—10 B C C C D 11—12 D B二．填空题（每小题5分，共20分）13. 2 ； 14. 2 ； 15. 8π； 16 . 8 . 三．解答题（共70分）17.【解答】解：（ 1）∠A=60°，c=a ， 由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3， ∴C ＜A ， 由（1）可得cosC=，∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，∴S △ABC =acsinB=×7×3×=6．18.【解析】（1）由题意知142344)(40262a a a a S +⋅===，， ∴23234013a a a a ⋅=+=，，1分又公差为正数，故25a =，38a =,3d =公差， 2分∴31n a n =-，3分由1*22n n T n N +=-∈（）得当111,2n b T ===，4分当2,n n N *≥∈时，()1122222n n n n n n b T T +-=-=---=5分综上得*2n n b n N =∈（）．6分（2）由（1）知()312nn n a b n ⋅=-⋅ ∴()22252312nn M n =⋅+⋅++-⋅7分〖解法〗（错位相减法）()23122252312n n M n +=⋅+⋅++-⋅8分得()()12331243222n nn M n +=-⋅--+++10分 ()13428n n +=-⋅+．1219. （12分） (1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ．…………………………..2分 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE …………………………..5分（Ⅱ）解：因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D ﹣xyz 如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为60°，即∠DBE=60°，所以3=DBDE． 由AD=3，可知DE=36，AF=6．则A （3，0，0），B （3，3，0），F （3，0，6），E （0，0，36）， C （0，3，0） ………………………………7分所以=（0，﹣3，6），=（3，0，﹣26）．设平面BEF 的法向量为=（x ，y ，z ），则即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0623063z x z y ．令z=6，则=（4，2，6）．因为AC ⊥平面BDE ，所以为平面BDE 的法向量，=（3，﹣3，0）． (10)分所以cos<,>===．因为二面角为锐角，所以二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值为．……………………12分20. （12分）（1） 设椭圆方程为()222210,0x y a b a b +=>>，因为23,32===a c e c ，所以2,4==b a ， …………………… 3分所求椭圆方程为141622=+y x . ……………………… 5分（2）由题得直线L 的斜率存在，设直线L 方程为y=kx+1，..…………………… 5分则由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416122y x kx y 得()01284122=-++kx x k ，且0>∆． …………………… 6分 设()()1122,,,A x y B x y ，则由2AM MB =得122x x =﹣，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+2212214112418k x x k k x x ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-+-=2222241122418-k x k k x 消去2x 得，解得2032=k ，1015±=k ， …………………… 10分 所以直线l 的方程为11015+±=x y .……………………… 12分21.（12分）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2a ≤. 【解析】试题分析：（Ⅰ）令，求导得单调性，进而得，从而得证；（Ⅱ）记求两次导得()h x '在[)0,+∞递增， 又，进而讨论2a -的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.试题解析： （Ⅰ）令，由∴()F x 在(0,e]递减，在[)e,+∞递增，∴ ∴()0F x ≥ 即成立．（Ⅱ） 记， ∴()0h x ≥在[)0,+∞恒成立，， ∵，∴()h x '在[)0,+∞递增， 又，∴ ① 当 2a ≤时， ()0h x '≥成立，即()h x 在[)0,+∞递增， 则，即成立；② 当2a >时，∵()h x '在[)0,+∞递增，且，∴ 必存在()0,t ∈+∞使得()0h t '=．则()0,x t ∈时， ()0h t '<， 即 ()0,x t ∈时，与()0h x ≥在[)0,+∞恒成立矛盾，故2a >舍去．综上，实数a 的取值范围是2a ≤．点睛：导数恒成立的问题，根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；22.（本小题10分）解：（1）点P 的直角坐标为3232(．由2cos()4πρθ=-，得2cos sin ρθθ=，①将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①，可得曲线C的直角坐标方程为22((122x y -+-=． （2）直线l：2cos 4sin ρθρθ+=的直角坐标方程为240x y +-=，设点Q的直角坐标为(cos ,sin )22θθ++，则cos sin )22M θθ+， 那么M 到直线l 的距离cos sin |))d θθ+-===，∴d ≥=（当且仅当sin()1θϕ+=-时取等号）， 所以M 到直线l：2cos 4sin ρθρθ+=．。