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Байду номын сангаас
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矩阵形式
状态方程
输出方程
(t ) Ax (t ) Bf (t ) x y (t ) Cx (t ) Df (t )
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵
注：1、A、B、C、D均为时间t的函数，对于LTI系统，则为 常数，不随时间t改变。 2、状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程 的建立。通常，选动态元件的输出为状态变量
状态与状态变量的定义 系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。 状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。
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在初始时刻的值称为初始状态。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。 说明： （1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入 的线性组合； （2）状态变量应线性独立； （3）状态变量的选择并不是唯一的 。
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状态空间的提出与卡尔曼
• 状态方程的系数为n×n阶矩阵，且其行列 式不为0，即R(A)为满秩。 • 状态空间 • 系统状态可用状态空间中的点来表示 • 卡尔曼与卡尔曼过滤器 • 状态空间可用于线性时变系统
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二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
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动态方程的一般形式
n阶多输入-多输出LTI 连续系统，如图 。 其状态方程和输出方程为
f1(t) f2(t) ┇ fp(t)
{xi(t0)}
y1(t) y2(t) ┇
yq(t)
1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b11 f1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b21 f1 b22 f 2 b2 p f p x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn1 f1 bn 2 f 2 bnp f p x
R1
从一个电路系统实例引入 a iL1 L1 R2 a iL2 L2
iC uC u us2
us1
d u 1 1 du C C iL1 iL 2 C iL 2 iL1 0 dt C C dt d iL1 1 R1 1 d iL1 uC iL1 u S 1 R1iL1 L1 uC u S 1 0 dt L1 L1 L1 dt d iL 2 1 R2 1 d iL 2 uC iL 2 u S 2 L2 R2iL 2 u S 2 uC 0 dt L2 L2 L2 dt
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。
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系统的输出容易地由三 个内部变量和激励求出：
d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R 1 uC 1 iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R 1 uC 2 iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2
u (t ) R2 i L 2 (t ) u S 2 (t ) 一组代数方程 iC (t ) i L1 (t ) i L 2 (t )
本章将介绍的内部法——状态变量法是用n个状态 变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系 统。 优点有： （1）提供系统的内部特性以便研究。 （2）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 于时变系统和非线性系统。
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§8.1 状态变量与状态方程
一、状态与状态变量的概念 以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。 这时可列出方程
第八章
系统的状态变量分析
前面几章的分析方法称为外部法，它强调用系统 的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。 其特点： （1）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系 统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。
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内部法——状态变量法
y1 c11 x1 c12 x 2 c1n x n d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y 2 c 21 x1 c 22 x 2 c 2n x n d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p y q c q1 x1 c q 2 x 2 c qn x n d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p
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R1 iL1
L1
a iL2 L2 iC u
R2
us1
uC
us2
d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R 1 uC 1 iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R 1 uC 2 iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2