13. 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠3＝∠1＋∠2.5. 一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整的碎片(如图所示)，聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．下列四个答案中考虑最全面的是()A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、4或3、4去均可16. 将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB ＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.(1)求证：AF＋EF＝DE；(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立；(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其他条件不变，如图③.你认为(1)中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．板块一、三角形全等的判定与应用在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，若12∠=∠，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．21EOD C BA【巩固】如图所示，AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P ．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．F A E P D CB板块二、三角形全等的判定与应用(2008年某市高中阶段教育学校招生考试)如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．FEDC B A(2008年某市)已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．O DCBA【巩固】如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证：OA OD =．A B CDO(某市2008 年初中升学考试)已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．F E O DCB A已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F ECB AE 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFE DC B A【巩固】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GAB C D E F在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．M ED C B A板块三、截长补短类如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?NEB M A D【巩固】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NCD EB M A如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM=CM=a ，AD=h ，CB=k ，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB 的长为 ( )A. aB. kC. 2k h+ D. hM DCBA已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.FEDC B A如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NMD C BA五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD 平分∠CDEC EDB A板块四、与角平分线有关的全等问题如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB A已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．O ED C B AAD OC BD CBA如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．EDC B A 4321(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD 中，AB=4，BC=7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF=__________．F E DCB A如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFACD E B【巩固】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的角平分线．FGE D CB A【巩固】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．C D B PA如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．D C B A如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．M F DC B A【巩固】如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥ 且1()2DE AB AC =+．E DC B A【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．M DC B A如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．HG D B C E【巩固】已知：AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，求证：⑴ DE AB ∥；⑵()12DE AB BC CA =++．EB A D C在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++F E N MC B A【巩固】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-N MCB A【巩固】(市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，并且)(21AD AB AE +=，则ADC ABC ∠+∠等于多少？E CBA如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系．探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A版块一、倍长中线已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．M CB A【巩固】(2002年某市中考题)在ABC ∆中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值X 围是什么？如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．D CB A如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．F ED C B A已知△ABC ，∠B=∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD=CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD=GE ．GEDCB A已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．M FE CB A在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？F EDC B A【巩固】如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．NMD CB A(2008年某省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FE D CB A版块二、中位线的应用 AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =．FAD EC B如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．ECB A【巩固】已知△ABC 中，AB=AC ，BD 为AB 的延长线，且BD=AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求证CD=2CEE DB CA已知：ABCD 是凸四边形，且AC<BD ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点． 求证：∠GMN>∠GNM ．N MGF EDCB A在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB⊥且AE BE =．EDC BA如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDF C BA(“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P 是ABC ∆内的一点，PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证DM DL =．LP MD CB A(全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：(1) DEM FDN ∆∆≌； (2) PAE PBF ∠=∠．NM A BCD E P F【习题1】如图，已知AC BD =，AD AC ⊥，BC BD ⊥，求证：AD BC =．D C BA【习题2】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD=DC ，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC ．NMCB A【习题3】在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：AD DE =．CE DB A【习题4】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．D C B A【习题5】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．D FEC B A【习题6】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？F ED CB A【习题7】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．。