2003年北京市第18届“迎春杯”数学竞赛试题及详解1．计算：11110[7(
)1]33542-⨯-⨯--=。
【答案】7【解析】11110[7()1]3
3542-⨯-⨯--11110[()1]356=-⨯---1110[1]330=-⨯--1013010[]303030=-⨯--2110(30=-⨯213=7=。
2．如果210a a +-=，那么3222a a ++的值为。
【答案】3
【解析】210a a +-=是已知条件。
在不解方程的情况下，要运用此条件，那么应把32
22a a ++中各项组合尽量使表达式中含有2(1)a a +-，
则3232222()2a a a a a a a ++=+-+++22(1)2a a a a a =+-+++(凑出一个21a a +-)
202
a a =+++22
a a =++2(1)3a a =+-+(凑出第二个21a a +-)
03=+3
=
另解：也有其他的想法，
对3222a a ++求值，先消去3a 项，令32
22A a a =++，
32222(1)10(2)a a A a a ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩ ，(1)(2)a -⨯，得
22(3)a a A ++= ，
(3)(2)-，得2(1)A --=，即3A =，所以32223a a A ++==。
3．代数式111213x x x ++-++的最小值为。
【答案】25【解析】a b -是指a 点到b 点的距离。
那么111213x x x ++-++(11)12(13)x x x =--+-+--，
即表示x 点到13-，11-，12三点的距离和。
由于131112-<-<。
考虑(13)12x x --+-，直观可知它12(13)25≥--=。
当x 在13-与12之间时，取最小值25。
而(11)0x --≥．(当11x =-时，取“=”)。
又11x =-恰好满足1312x -≤≤。
所以当11x =-时，两个不等式同时达到下式取“=”条件。
原式111213x x x =++-++(131211)x x x =++-++250≥+25=故111213x x x ++-++的最小值为25。
4．某种商品的原价为100元，现有四种调价方案：
(1)先涨价%m ，再降价%n ；
(2)先涨价%n ，再降价%m ；(3)先涨价
%2m n -，再降价%2m n -；(4)先涨价%2m n +，再降价%2m n +；其中0100n m <<<．那么调价后售价最高的方案是
．(只需填1，2，3，4
中之一即可)。
【答案】1或3
【解析】由0100n m <<<，得000001n m <<<，令%u n =，00v m =，得01u v <<<。
第一种方案售价为1100(1%)(1%)100(1)(1)
x m n v u =+-=+-第二种方案售价为2100(1%)(1%)100(1)(1)x n m u v =+-=+-第三种方案售价为3100(1%)(1100(1)(1)2222m n m n v u v u x ----=+
-=+-第四种方案售价为4100(1%)(1%)100(1)(1)2222m n m n v u v u x ++++=+-=+-比较1x ，2x ：
因为12100(1)100(1)100(22)0x x v u vu u v vu v u -=+---+--=->，所以12x x >；
比较3x ，4x ：
因为23100[1(
)]2v u x -=-，24100[1()]2v u x +=-，故34x x >；比较1x ，3x ：
因为13
x x -22111100(1)100(1)424
v u vu v vu u =+----+-22311100()244v u vu v u =--++，
所以当100u =，100v =时，上式为负；当100u =，100v =时，上式为正。
所以，1x 与3x 之间关系不定。
故调价后售价最高的是第1方案或第3方案。
5．在3和5之间插入6，30，20这三个正整数，得到3，6，30，20，5这样一串数．其中每相邻两个数的和可以整除它们的积(例如，369+=，9可以整除36⨯；再如，63036+=，36可以整除630⨯)．请你在4与3这两个数之间的三个括号中各填一个正整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积．4，，，，3。
【答案】有三组解：（4，4，12，6，3），（4，12，12，6，3）或（4，12，6，6，3）
【解析】设4，(x )，(y )，(z )，3是满足条件的一组数。
则4(4)x n x =+(n 是正整数)，解得4n 4n
x =-。
1n =时，x 不是整数；2n =时，4x =；3n =时，12x =。
同样，3(3)z m z =+(m 是正整数)，解得3m 3m
z =-。
1m =时，z 不是整数；2m =时，6z =。
于是4，(x )，(y )，(z )，3就是4，4，(y )，6，3或4，12，(y )，6，3考虑(y )，6。
6(6)y l y =+(l 是正整数)，解得66l y l
=-。
1l =，无整数解；2l =，3y =；3l =，6y =；4l =，12y =；5l =．30y =。
其中，满足4，(y )的只有12y =。
满足12，(y )的只有12y =，6y =。
故最终有三种组合，分别是：(4，4，12，6，3)，(4，12，12，6，3)或(4，12，6，6，
3)。
【评注】
6．某乡镇决定用去年工业产值的6.5％和农业产值的4％作为专项开发经费，这样专项开发经费占了工农业总产值的5％．现在已知工业产值为6千万元，那么农业产值为千万元。
【答案】9
【解析】设农业产值为x 千万元，则6 6.5%4%(6)5%x x ⨯+⨯=+⨯，
即394530x x +=+，得到9x =。
农业产值为9千万元。
7．已知关于x ，y 的方程组2647x ay x y -=⎧⎨
+=⎩
的解是整数，a 是正整数，那么a 的值为。
【答案】21
x y =⎧⎨=-⎩【解析】已知2647
x ay x y -=⎧⎨+=⎩的解是整数，由47x y +=，得74y x =-代入第一个方程，得到2(74)6x a x --=，
即(42)76(1)a x a +=+ ，解得7642
a x a +=
+。
由（1），知2|a 。
而a 又是正整数，考虑2,4,6,a = 2a =时，7262422x ⨯+=
=⨯+；4a ≥时，76142a x a +=>+，且7672822424242a a a a x a a a ++++=≤=<+++。
即12x <<无整数解。
故只有2a =时，有21
x y =⎧⎨=-⎩。
8．如图，DE ，FG ，HI ，BC 分别平行，图中梯形的个数一共有个。
【答案】15
【解析】以BC 为下底的梯形有3216++=个。
以HI 为下底的梯形，有2个。
以HL 为下底的梯形，有1个。
以FG 为下底的梯形，向上向下各1个，有2个。
以GJ ，FJ 为下底的梯形各1个，共2个。
以DE 为下底的梯形有2个。
综上，共62122215+++++=(个)。
9．某校初中一年级有书法、舞蹈、足球、数学四个课外小组，一班学生共有46名，每人至少参加一个小组，至多参加三个小组，那么，其中至少有
个同学参加的课外小
组相同。
【答案】4
【解析】由“抽屉原理”求解。
先算有多少种参加课外小组的方案：
(1)只参加1个小组，有4种；。