列方程解分数、百分数实际问题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：列方程解分数、百分数实际问题一、引入。

一堆球，有红、黄两种颜色．这道题中取的次数、红球数、球的总数都是未知数量，如果考虑用算术方法解决问题，会非常困难。

我们不如换一个思考问题的角度，用代数方法解决问题。

解：设取x次后，红球占90％．则球的总数为50+8x，红球数为49+7x．()()xx850749++=90％x=20所以这堆球有50+8×20=210个。

我们在解答分数、百分数实际问题时，经常会遇到一些数量关系比较复杂的题目。

用算术方法来思考，往往把未知量置于特殊位置，使解题方法和思路受到限制，造成解题困难。

列方程解分数、百分数应用题，由于用字母表示未知数，未知数能直接参加列式和运算，因而思路直接，解法灵活。

这一讲我们就来学习列方程解分数、百分数实际问题。

二、探索新知。

例1：商场运来空调和彩电共152台，卖出彩电的111和5台空调后，剩下的空调和彩电台数正好相等，商店运来彩电多少台？题目中“卖出彩电的111和5台空调后，剩下的空调和彩电台数正好相等”这一条件是在间接呈现彩电与空凋台数之间的关系，请同学们画线段图理解这一关系。

首先数出的50个球中有49个红球；以后每如果已知红球占总数从图中可以看出，空调的台数比彩电台数的（1-111）多5台，运用假设法可以解决问题。

（152-5）÷（1+1- 111 ）=77（台） 利用算术方法解决问题，不仅需要利用线段图准确理解题目条件间接呈现的数量关系，还要运用假设的方法对题目进行转化。

很多同学在运用假设方法时，由于搞不清是该给总台数增加5台还是减少5台，经常出现错误。

运用代数方法就可以回避这些问题。

由于题目的问题是商店运来彩电多少台？我们就设彩电运来x 台，则空调运来（152－x ）台。

根据“剩下的空调和彩电台数正好相等”这一等量关系，我们可以列方程解答。

解：设商店运来彩电x 台，则空调运来（152－x ）台。

x －111x=152－x －5 1110x=147－x 1110x ＋x=147 x=77答：商店运来彩电77台。

由于题目中间接交待了彩电和空调数量之间的关系，解决间接呈现数量关系的问题，代数方法有着明显的优势，因为设未知数后我们可以用含有字母的式子表示隐蔽的数量关系。

解决例1，我们采用了直接设未知数的方法，即题目中求什么，就设什么为x 。

例2：天竺小学六年级一班有学生若干人，其中男生占125，后来又转来6名男生，这时男生正好占全班人数的21，这个班现有男生多少人？ ①512 和13分别以谁为单位“1”？它们表示的数量关系是什么？ 通过思考问题，让学生准确理解条件，明确男生人数、全班人数都发生了变化，两个分率的单位1并不相同。

②你会设未知数，用字母表示全班人数、男生人数、女生人数吗？通过思考，让学生体会到：如果直接设男生为x 人，根据题目数量之间的关系很难列出方程，这里我们不妨设六一班原来共有x 个同学，那么原来的男生人数就可以用125x 来表示，后来男生人数就可以用21（x ＋6）来表示；原来女生可以用（1-125x ）表示，现在女生可以用（1-21）×（x ＋6）表示。

解：设天竺小学六一班原来有学生x 人。

21（x ＋6）=125x +6 21x ＋3－125x=6 121x=3 x=3621（x ＋6）=21（36＋6）=21（人） 答：这个班现有男生21人。

思考：如果用女生人数相等可以怎样列方程呢？例2设未知数的方法与例1不同，它不像例1那样求什么，设什么，而是先设六一班共有学生x 人，然后再通过这个未知数男生人数，这种设未知数的方法叫做间接设法。

这两种设未知数的方法，我们要根据具体的问题灵活运用。

例2中男生人数的变化带来了全班总人数的变化，解决数量有变化的问题，代数方法有着明显的优势，因为设未知数后我们可以用含有字母的式子表示变化后的数量。

例3：王老师有两张存本取息的存单，共4500元。

一张存单的存款利率为4%，另一张存单的存款利率为5%。

如果她这两笔存款每年得到的利息相同，那么她每年两笔存款得到多少利息？题目只给了两张存单共4500元，而没有给两张存单的金额各是多少元，而计算利息需要知道存款金额。

代数方法可以帮我们解决这一问题，如果设利率为4%的存单有x 元，你能用含有字母的式子表示哪些数量？解：设第一张存单的金额为x 元，则第二张存单为（4500-x ）元。

4%x=5%（4500-x ）4x=5（4500-x ）9x=4500×5X=2500第一张存单的利息为：4%x=4%×2500=100（元）两张存单的利息为100×2=200（元）答：王老师每年从这两张存单上得到200元的利息。

这是一道利率问题，我们运用两张存单的总钱数是4500元设未知数，用两张存单获得的利息相等这一等量关系列方程。

在列方程时要用到利率问题最基本的数量关系：本金×年利率=利息。

（四）学习例4。

例4：有两堆棋子，A 堆有黑子350和白子500个，B 堆有黑子400个和白子100个．为了使A 堆中黑子占50％，B 堆中黑子占75％，那么要从B 堆中拿到A 堆黑子多少个?白子多少个?①你如何理解“A 堆中黑子占50％”这一条件？题中条件“A 堆中黑子占50％”，可以理解为：“A 堆中的白子与黑子一样多”。

现在A 堆中白子比黑子多500-350=150个，所以从B 堆中拿到A 堆的棋子中，黑子应比白子多150个。

②如果设从B 堆中拿白子x 个，你能用字母表示哪些数量？如果设从B 堆中拿白子x 个，则可以表示出：从B 堆中拿黑子(x +150)个，此时B 堆有棋子[（400＋100）－x －（x ＋150）]个，其中黑子有[400－（x ＋150）]个。

根据上面用字母表示的数量和B 堆中黑子占75%这一等量关系列方程解答。

解：设从B 堆中拿白子x 个，则拿黑子(x +150)个。

()()()]150100400[]150x -004[+--++x x =75% 4[400－（x ＋150）]=3[（400＋100）－x －（x ＋150）] 4[250-x]=3[350－2x]X=25黑子：25＋150=175（个）答：要从B 堆中拿到A 堆黑子175个，白子25个。

本题分析的关键是根据“A 堆有黑子350和白子500个”和“A 堆中黑子占50％”这两个条件，挖掘出“B 堆中拿到A 堆的棋子中，黑子应比白子多150个”这一隐蔽条件，运用这一隐蔽条件设未知数，再利用B 堆中黑子占75%这一等量关系列方程解答。

例5：现有浓度为10%的酒精溶液20千克，再加入多少千克浓度为30%的酒精溶液，可以得到浓度为22%的酒精溶液？解决这道题首先要理解什么是“酒精溶液”，纯酒精溶液溶解于水得到的混合液，浓度为10%的酒精溶液是指纯酒精占溶液总量的10%。

两种溶液混合过程中，纯酒精的总量不变，根据混合前后纯酒精相等这一等量关系，可以列方程解答。

解：设需要加入x 千克浓度为30%的酒精溶液。

20×10%＋30%x=（20＋x ）×22%2＋30%x=4.4＋22%x30%x －22%x=4.4－28%x=2.4X=30答：需要加入30千克浓度为30%的酒精溶液。

例5是浓度问题，将纯酒精溶于水就得到酒精溶液。

酒精溶液=纯酒精＋水，我们把纯酒精叫做溶质，水叫做溶剂，纯酒精和水的混合液叫做溶液，纯酒精与酒精溶液的比值叫做浓度。

溶质、溶剂和浓度具有以下基本关系式：溶液的质量=溶质的质量＋溶剂的质量浓度=溶液的质量溶质的质量×100% 解决浓度问题，要能正确理解浓度的含义及相关数量关系。

例6：甲容器中有纯酒精22升，乙容器中有水30升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合，第二次将乙容器中的一部分混合溶液倒入甲容器。

这时甲容器中酒精溶液的浓度为62.5%，乙容器中酒精浓度为25%。

求第二次从乙容器倒入甲容器的混合溶液有多少升？第二次从乙容器中倒一部分混合溶液给甲容器，乙容器中剩下酒精溶液的浓度为25%。

也就是说，第一次从甲容器中倒部分纯酒精给乙容器，混合后乙容器中纯酒精含量是25%。

由于此时乙容器中水的质量不变，根据“溶液总量=水的质量÷水所占的百分比”可求出此时乙容器中溶液总量，这样就可以计算出从甲容器中倒入乙容器的纯酒精的量。

虽然溶液在两个容器中倒来倒去，浓度的变化较大，但从整体上看，纯酒精的总量始终是22升，利用这一不变的量可以列方程解答。

解：第一次从甲容器倒入乙容器的纯酒精有30÷（1－25%）－30=10（升）此时甲容器有纯酒精22－10=12（升），乙容器有浓度为25%的酒精溶液30＋10=40（升）。

设从乙容器倒入甲容器的混合溶液有x 升（12＋x ）×62.5%＋（40－x ）×25%=227.5＋62.5%x ＋10－25%x=2217.5＋37.5%x=4.5X=12答：第二次从乙容器倒入甲容器的混合溶液有12升。

本题是比较复杂的浓度问题，在分析中我们两次利用了“变中抓不变”的方法。

第一次利用从甲容器倒入乙容器纯酒精时，乙容器中水的质量不变，求出了倒入乙容器的纯酒精的量；第二次利用甲、乙两容器中酒精的总量不变列方程。

在解决比较复杂的浓度问题时， “抓住不变量”列方程是经常采用的方法。

三、练习应用。

1．一桶油用去总数的43，又买来85千克，这时油的质量恰好是原来的76，原来有油多少千克？2．一包糖，有奶糖和水果糖两种，其中奶糖占总数的31，再放入18块水果糖后，那糖占总数的92，奶糖有多少块？3．某厂向银行申请甲、乙两种贷款共30万元。

每年需付利息4万元。

甲种贷款的年利率为12%，乙种贷款的年利率为14%，该厂申请甲、乙两种贷款的金额是多少？4．某人到商店买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元，由于购买量较多，商店给与优惠：红笔八五折，蓝笔八折，结果此人付的钱比原来节省了18%，已知他买了蓝笔30支，那么红笔买了多少支？5．现有浓度为20%的盐水700克，要把它变成浓度为30%的盐水，需要加盐多少克？6．甲容器中有浓度为8%的盐酸溶液300克，乙容器中有浓度为12.5%的盐酸溶液120克。

现在往两个容器中加入同样多的蒸馏水，使两个容器中盐酸溶液的浓度相同。

每个容器中应加蒸馏水多少克？四、趣味驿站。

小明答对几道题？ 一次数学测验中。

已知，两人都答对的题目占题目总数的61，你能算出小明答对几道题吗？ 这是一道拓宽同学解题思路的开放题。