容斥原理公式及运用
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

、容斥原理1:两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加, 发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。

如下图所示。

公式=AUB=A-R-AnB
【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人数学得满分人数一A,语文得满分人数一B,数学、语文都是满分人数-A H B，至少有一门得满分人数一A U B。

A U B=15+12-4=23共有23人至少有一门得满分。

、容斥原理2:三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了 2 次。

女口下图所示，灰色部分A n B-A G B n c、B n C-A G B A c、c n A-A G B A C都被重复计算了1次，黑色部分A n B n c被重复计算了2次，因此总数A U B U c=A+B+c-
(A n B-A A B n c) -(B n c-A n B n c) -(c n A-A A B A c) -2A n B n c=A+B+c-n B-B A c-cn
A+A A B n c。

即得到：
公式：AU BU C-X-K-C AH C CA A*AHBn C
总数三个訥的•重合两次的-重合三次的
【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25 人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12 人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人
参加足球队一A，参加排球队一B，参加游泳队一C,足球、排球都参加的-A n B，足球、游泳都参加的一c n A,排球、游泳都参加的一B n c,三项都参加的-A n
B n c。

三项都参加的有A n B A C=A U B U C-A-B-C+A A B+BA c+c n A=45-25-22-24+12+9+8=3人。