若x取无数 个呢?
xn
x应该取区间I内所有实数
x
函数单调x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2 ， 当 x1<x2 时 ， 都 有 f(x1)<f(x2) ， 那 么 就 说 f(x) 在 区间D上是增函数,如图1 .
f(x1)- f(x2)=
1 x1
1 -
x2
=
x2 - x1 x1x2
由于x1,x2 0, + 得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2).
函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.
注意：“任意”两字
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于
定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ， 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说f(x)在区间D 上是减函数 ,如图2.
y
y=f(x)
f(x1)
f(x2) x
0
x1
x2
图1
y y=f(x)
f(x1) f(x2)
文字语言不精确，比如说者无心听者有意，文字语言总是 让人误会。
图形语言直观，但一些函数图形很难画出来。 符号语言精确、严格、简洁、漂亮、有助于减少人的思维 量，让人更容易思考，减轻大脑负担。 学习数学就是学习数学化，其中之一是符号化。所以只有 把单调性符号化才是严格严谨的定义。数学只有符号化才是严 格严谨的。
单调性与最大小值
一、前面几节课我们讲了人不但有本质也有形式更有性质。 人的本质随着社会历史的发展认识越来越深刻，人的形式 比如四种人种：黄种人、黑人、白种人、棕色人。 人的本质比如从古希腊的人时没有羽毛站立的两只脚的动 物到马克思的人是各种社会关系的总和。 我们讲马克思对人的认识时举了个例子，就是狼孩。人如 果离开社会与狼一起生活那她就不是人而是狼。 人的性质比如人有两个鼻子一只耳朵等等。 我们还讲了人的心灵美属于人的本质，人的外表美属于人 的形式，人只有心灵美外表美才是真的美。 函数也有本质、形式、性质。函数的本质也是随着历史社
思 考 （1）对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x＝1
时, y＝1; 当 x＝2时, y＝3 , 能说在区间 I 上函数值 y 随自变量 x的增大而增大吗?
y
3
1
012 x
思 考 （2）对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x＝1,
2, 3, 4, 时, 相应地 y＝1, 3, 4, 5，能说在区间 I 上函
f(x1 ) - f(x2 ) < 0
即函数 f(x) = - 1 - 1 在区间（0，+∞）上是单调
增函数.
x
思考
若把区间改为 -，0 ,结论变化吗 ?
若把函数改为 f(x) = - a - 1 (a 0)，结论变化吗？ x
证明一个函数的单调性文字语言、图形语言能不能当证明？要 证明一个函数的单调性为什么只能用符号语言当证明。
问题1
画出f(x)=x的图像，并观察其图像。
1、从左至右图象上升还是下降 _上__升_?
2、在区间 _(_-___, ___上) ，随着x的增大，f(x)的值随
着 ____增__大.
5
f(x)=x
-5 o
5
-5
问题2
画出 f(x) = x2 的图像，并观察图像.
1、在区间 __(_-∞__,0_]__ 上，f(x)的值随着x的增大而
四、文字语言、图形语言、符号语言各有什么优劣？
文字语言不精确，比如说者无心听者有意，文字语言总是 让人误会。
图形语言直观，但一些函数图形很难画出来。 符号语言精确、严格、简洁、漂亮、有助于减少人的思维 量，让人更容易思考，减轻大脑负担。 学习数学就是学习数学化，其中之一是符号化。所以只有 把单调性符号化才是严格严谨的定义。数学只有符号化才是严 格严谨的。
例2 求证：函数f(x) = - 1 - 1 在区间 0，+ 上是单
调增函数．
x
证明：在区间（0，+∞）上任取两个值 x1 , x且2
x1 < x2 ，则
f(x1 ) - f(x2 ) = -
1 x1
+
1 x2
=
x1 - x2 x1x2
又因为 x1 - x2 < 0 ，x1x2 > 0 ，所以说
会的发展认识越来越深刻。函数的形式有三种表达方式。这节 课我们来学习学习函数的性质。
一、同学们思考下单调性是什么意思？ 我们知道词语有第一词意，第二、三词意。 第二、三词意有第一词意引申二出。单调的第 一词意就是：
①只有一种的或重复而缺少变化：色彩单 调｜形式单调｜单调的生活。
二、看几个单调函数图形。
_减__小___.
f(x) = x2 2、 在区间 ____(_0_,+_∞_ )上，
f(x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而
5
___增__大.
-5 o
5
-5
1、文字语言：随着x的增大，函数值也增大；随着x的减小函 数值也减小。或反之。
2、图形语言：一条上升的曲线或一条下降的曲线。
3、符号语言：暂不板书。
0
x1
x2 x
图2
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的局部性质.
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是 增函数和减函数.
函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函 数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的） 单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
数值y 随自变量x 的增大而增大吗？
y
4
3
2 01
12 3 4
x
思 考 (3) 对于函数y= f(x)若 区间I 上有n个数
x1< x2<x3<···< xn，它们的函数值满足: y1< y2<y3<···< yn时，能说在区间 I 上 y 随 x 的增大 而增大吗 ？
y
yn y3 y2 y1
0 x1 x2 x3
问：此函数图形能画出来吗？
探究
画出反比例函数 y = 1 的图象． x
1 这个函数的定义域是什么？
{x∣x≠0}
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结
论． y
分两个区间(0，+∞)， （-
∞ ，0）来考虑其单调性.
0
x
证明：（1）在区间(0，+∞)上，设x1,x2是(0，+∞)上
任意两个实数，且x1<x2，则