三角函数的单调性和最值问题
例1已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求:
(I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；
(II) 函数()f x 的单调增区间．
解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 22)224
x x f x x x x x π-+=++=++=++
∴当2242x k π
ππ+=+,即()8x k k Z π
π=+∈时, ()f x 取得最大值2+函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+
∈.
(II) ()2)4f x x π=++
由题意得: 222()242k x k k Z πππππ-
≤+≤+∈ 即: 3()88
k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88
k k k Z ππππ-
+∈.
例2 已知函数f (x )＝π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间π0,2
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． (3)求f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的单调区间和值域。

解：(1)f (x )＝sin 2x ·ππcos sin 44
x ⋅＋3sin 2x －cos 2x
＝2sin 2x －2cos 2x ＝π24x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π. (2)因为f (x )在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是减函数．又f (0)＝－2，3π
8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故函数f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2.
练习题
练习1.已知函数),,0(cos 2)2sin(sin 3sin )(22R x x x x x x f ∈>+++=ωωπωωω在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为
6
π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）若将函数)(x f 的图象向右平移
6π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 的最大值及单调递减区间．
练习2.设函数)(2sin cos 2)(2R a a x x x f ∈++=
(I)求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ)当]6,
0[π∈x 时，
f (x)的最大值为2，求a 的值，并求出()()R x x f y ∈=的对称轴方程．
练习3.已知函数44sin cos cos y x x x x =+-
（1）求函数()f x 最小正周期；
（2）若[]0,x π∈，求出该函数在[0,]π上的单调递增区间和最值。

练习4.已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x π
π
--，x R ∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；
(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-
上的最大值和最小值.。