1.因子分析法基本原理
在 某一个 行 分析 ， 采集大量多 量的数据能 我 的研究分析提供更 丰富的信息和增加分析的精确度。

然而， 种方法不 需要巨大的工
作量，并且可能会因 量之 存在相关性而增加了我 研究 的复 性。

因子分析法就是从研究 量内部相关的依 关系出 ， 把一些具有 复 关系的 量 少数几个 合因子的一种多 量 分析方法。

我 就可以 原始的数据 行分 并，将相关比 密切的 量分 ， 出多个 合指 ，
些 合指 互不相关， 即它 所 合的信息互相不重叠。

些 合指 就称 因子或公共因子。

因子分析法的基本思想是将 量 行分 ， 将相关性 高， 即 系比 密的分在同一 中， 而不同 量之 的相关性 低， 那么每一 量 上就代表了一个基本 构， 即公共因子。

于所研究的 就是 用最少个数的不可 的所 公共因子的 性函数与特殊因子之和来描述原来 的每一分
量。

，就能相 容易地以 少的几个因子反映原 料的大部分信息， 从而达到 数据，以小 大，抓住 本 和核心的目的。

因子分析法的核心是 若干 合指 行因子分析并提取公共因子， 再以每个因子的方差 献率作 数与 因子的得分乘数之和构造得分函数。

因子分析法的数学表示 矩 ： X AF B ，即 :
x 1 11 f
1 1
2 f
2 1
3 f
3 1k f
k 1 x 2 21 f 1
22 f 2
23 f 3
2 k f
k
2
x 3
31 f
1
32 f
2
33 f
3
3k f
k
3
(k ≤p)⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (1 式)
x
p p1 f
1
p 2 f
2
p 3 f
3
pk f
k
p
模型中，向量 X x 1, x 2 , x 3 , , x p 是可 随机向量，即原始 量。

F f 1 , f 2, f 3 , , f k 是X x 1, x 2 , x 3, , x p 的公共因子，即各个原 量的表达式中
共同出 的因子， 是相互独立的不可 的理 量。

公共因子的具体含 必 合 研究 来
界定。

A ij 是公共因子 F f 1, f 2 , f 3, , f k 的系数，称 因子 荷矩 ，
ij （i=1,2,.....,p;j=1,2,....,k)称 因子 荷，是第 i 个原有 量在第 j 个
因子上的 荷，或可将
ij 看作第 i 个 量在第 j 公共因子上的 重。

ij 是
x i 与 f j
的协方差，也是 x i 与 f j 的相关系数，表示 x i 对 f j 的依赖程度或相关程度。

ij 的绝
对值越 大， 表明 公共 因子 f j 对于 x i 的 载荷 量越大。

B
1, 2 , 3 ,
,
p
是
X x 1 , x 2 , x 3, , x p 的特殊因子， 是不能被前 k 个公共因子包含的部分， 这种因子也
是不可观测的。

各特殊因子之间以及特殊因子与所有公共因子之间都是相互独立的。

2.模型的统计意义
因子载荷矩阵 A 中有两个统计量对因子分析结果的经济解释十分重要，即变
量共同度和公共因子的方差贡献。

（1）变量共同度的统计意义
k
变量共同度是因子载荷矩阵 A 的第 i 行的元素的平方和。

记为：h i 2
ij
2
（其
j 1
中： i=1,2,...,p
）。

它衡量全部公共因子对 x i 的方差所做出的贡献，反映全部公共因子对变量
x i 的影响。

h i 2 越大，表明 X 对于 F 每一分量的依赖程度大。

对1式两边取方差，得：
k
p
Var ( x i )
2
2
2
Var ( i )
2 2 （2式）
i1Var ( f 1 )
i 2Var ( f 2 )
ik Var ( f k )
ij
i
j 1
i 1
k
如果 h i 2
ij 2
的结果接近 Var (x i ) ，且 i 2 非常小，则因子分析的效果就比
j
1
较好，从原变量空间到公共因子空间的转化性质就好。

（2）公共因子的方差贡献的统计意义
p
因 子 载 荷 矩 阵 中 各 列元 素 的 平 方 和 记 为 ：
g
2
2
j
ij （其 中 ：
i 1
j=1,2,...,k ）。

g 2j 称为公共因子 F f 1, f 2 , f 3,
, f k 对 X x 1, x 2 , x 3 , , x p 的方差贡献， 表示第 j
个公共因子 f i 对于 x 的每一个分量 x i (i=1,2,...,p) 所提供的方差的总和，是衡量
公共因子相对重要性的指标。

对 2式进行变换，得：
k p Var ( x i )22222 i1Var ( f1 )i 2Var ( f2 )ik Var ( f k ) Var ( i )g j i
j 1i 1
g 2j越大，表明公共因子 F f1, f2, f3,, f k对X x1, x2 ,
x3 ,, x p的贡献越大，或
者说对 X x1, x2, x3,, x p的影响和作用就越大。

如果将因子载荷矩阵A的所有g2j (j=1 ， 2，?，k) 都计算出来，使其按照大小排序，就可以依此提炼出最有影
响力的公共因子。