数形结合实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=21422一、联想图形的交点例1. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |()A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3个分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log |出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。

例2. 解不等式x x +>2 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

{|}x x -≤<22练习：设定义域为R 函数⎩⎨⎧=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ） 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>><c b D c b C c b B c b A 答案C二、联想绝对值的几何意义例1、已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减，Q ：不等式12>++c x x 的解集为R ，如果P 与Q 有且仅有一个正确，试求c 的范围。

因为不等式12>++c x x 的几何意义为：在数轴上求一点)(x P ，使P 到)2(),0(c B A 的距离之和的最小值大于1，而P 到AB 二点的最短距离为12>=c AB ，即21>c 而P ：函数x c y =在R 上单调递减，即1<c ∴由题意可得：1210≥≤<c c 或 三、联想二次函数例1、已知关于x 的方程m x x =+-542有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为 分析：直接求解，繁难！。

由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。

设m y x x y =+-=221,54。

又1y 为偶函数，由图可知51<<m四、联想反函数的性质例1、方程3log ,322=+=+x x x x 的实根分别为21,x x ，则21x x +=解：令x y x y y x -===3,log ,23221 21,y y 互为反函数，其图象关于x y =对称，设)3,(),3,(2211x x B x x A --213x x -=∴ 即321=+x x六、联想斜率公式例1. 求函数的值域。

y x x =+-sin cos 22 y x x y y y x x =+-=--sin cos 222121的形式类似于斜率公式 y x x P P x x =+--sin cos ()(cos sin )22220表示过两点，，，的直线斜率 221P x y +=由于点在单位圆上，如图, 显然，k y k P A P B 00≤≤设过的圆的切线方程为P y k x 022+=-() 则有，解得±||22114732k k k ++==-即，k k P A P B 00473473=--=-+ ∴--≤≤-+473473y ∴函数值域为，[]---+473473例2、实系数方程022=++b ax x 的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求12--a b 的取值范围。

解：数形结合由12--a b 的结构特征，联想二次函数性质及12--a b 的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。

令b ax x x f 2)(2++=，则由已知有⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f 得到⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>020210b a b a b这个二元一次不等式组的解为ABC ∆内的点),(b a 的集合由12--a b 的几何意义为过点),(b a 和点)2,1(D 的直线的斜率 由此可以看出：11241=<--<=BD AD k a b k 即12--a b 的取值范围是)1,41(。

练习：如果实数、满足，则的最大值为x y x y y x()()-+=2322 答案D A B C D (1)233323五、联想两点间的距离公式例1、设b a R b a x x f ≠∈+=且,,1)(2，求证：b a b f a f -<-)()(解：,b a ≠ 不妨设b a >，构造如图的OAP Rt ∆，其中b OB a OA OP ===,,1 则b a AB b f b PB a f a PA -==+==+=),(1),(122在OAP Rt ∆中，有AB PB PA <-∴b a b f a f -<-)()(六、联想点到直线的距离公式例1、已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是012222=+--+y x y x 的两条切线，B A ,是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值。

解：121222-==⋅⋅⋅==∆PC PA AC PA S S PAC PACB 要使面积最小，只需PC 最小，即定点C 到定直线上动点P 距离最小即可 即点C )1,1(到直线0843=++y x 的距离，而3438241322=++⋅+⋅=d 2213)(2m in =-=∴PACB S七、联想函数奇偶性例1、设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则=++++)5()4()3()2()1(f f f f f解：本题由于)(x f y =不明确，故)(x f 的函数值不好直接求解。

若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。

则可知0)0(=f ，又且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，0)1(=∴f 则奇函数可得：0)1(=-f ，则又由对称性知：0)2(=f 同理：0)5()4()3(===f f f∴=++++)5()4()3()2()1(f f f f f 0八、其它简单方法：例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++解：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02b f f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，课后练习：1. 方程lg sin x x =的实根的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1，+∞B. ()-11，C. (][)-∞-+∞，，11D. ()()-∞-+∞，，113. 设命题甲：03<<x ，命题乙：||x -<14，则甲是乙成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 不充分也不必要条件 4. 若方程lg()lg()[]-+-=-x x m x 23303在，上有唯一解，求m 的取值范围。

5. 设a a >01且≠，试求下述方程有解时k 的取值范围。

log ()log ()a a x ak x a -=-222。

练习答案1. C 2. D 提示：画出y a x y x a ==+||与的图象情形1：a a a >>⎧⎨⎩⇒>011 情形2：a a a <<-⎧⎨⎩⇒<-011 3. A4.解：原方程等价于-+->->≤≤-+-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒-+->≤<-+-=⎧⎨⎪⎩⎪x x m x x x x m x x x m x x x m 222230300333300343 令y x x y m 12243=-+-=，，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意03≤<x ，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或-≤≤30m 时，原方程有唯一解，因此m 的取值范围为[－3，0] {1}。

5.解：将原方程化为：log ()log aa x ak x a -=-22， ∴x ak x a x ak x a -=-->->222200，且，令y x ak 1=-，它表示倾角为45°的直线系，y 10>令y x a 222=-，它表示焦点在x 轴上，顶点为（－a ，0）（a ，0）的等轴双曲线在x 轴上方的部分，y 20>∵原方程有解， ∴两个函数的图象有交点，由下图，知->-<-<ak a a ak 或0 ∴k k <-<<101或 ∴k 的取值范围为()()-∞-，，101。