(2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L
提示
(2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
f (x, y)ds
d
f [ ( y), y]
2( y) 1dy
L
c
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
❖对弧长的曲线积分
说明
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
( i ,i )si
•对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分
•当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x y)在曲线弧L
上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y)在L上 是连续的
•曲线形构件的质量就是曲线积分 (x, y)ds的值 L
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f (x, y)ds ？ L
(2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L
设f(x y)在曲线弧L上连续 L的参数方程为
x(t) y(t) (t) 其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0
则曲线积分 L f (x, y)ds 存在 并且
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？
提示
f (x, y, z)ds
f [(t), (t), (t)]
2(t) 2(t) 2(t)dt
一代、二换、三定限
代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，
特别地 有
| L f (x, y)ds | L| f (x, y)| ds
思考: 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对弧长的曲线积分的计算（描述代人法) （描成参数方程）
❖定理
则
f (x, y)ds 2 f (x, y)ds
L
L1
其中L1 是位于对称轴一侧的部分
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]Biblioteka 2(t) 2(t)dt ()
L
例 1 计算 yds 其中 L 是抛物线 yx2 上点 O(0 0)与点 L
•任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
❖曲线形构件的质量
设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上
已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
•任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L1 L2
L1
L2
•函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 f (x, y)ds L
❖对弧长的曲线积分的性质
•性质1 设c1、c2为常数 则
L[c1 f
§6.4.1 对弧长的曲线积分（第一类）
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
❖曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上
已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
在每个小弧段si上任取一点(i i) 作和
n
f (i,i)si
i 1
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则
称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
L f (x, y)ds 即
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0
i 1
f
( i ,i )si
其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段
(x, y) c2g(x, y)]ds
c1
L
f
(x, y)ds c2
g(x, y)ds
L
•性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L
L1
L2
•性质3 设在L上f(x y)g(x y) 则
L f (x, y)ds L g(x, y)ds
•类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线
积分
n
f
(x,
y,
z)ds
lim
0
i 1
f
(i,i,
i )si
❖对弧长的曲线积分
说明
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
( i ,i )si
•如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积
分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和
换：换弧微元 ds x2 y2dt
定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数
关于对称性
对弧长的曲线积分 可以利用对称性 简化计算
设L 关于 x ( y ) 轴对称 若 f( x ,y ) 关于 y ( x ) 是奇函数
则 f (x, y)ds 0 L
若 f( x ,y ) 关于 y ( x ) 是偶函数
•整个曲线形构件的质量近似为
M
n
( i ,i )si
i 1
•令max{s1 s2 sn}0 则整个曲线形构件的质量为
n
M
lim
0
i 1
(i,i
)si
❖对弧长的曲线积分
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界
将L任意分成n个小弧段
>>>光滑曲线
s1 s2 sn(si也表示第i个小弧段的长度)
提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb)
f (x, y)ds
b
f [x, (x)]
1 2(x)dx
L
a
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f (x, y)ds ？ L