n
(i 1,2, , n) ， 如果当各小弧段的长度的最大值 并作和 f ( i ,i )si 。
i 1
上述和式的极限总存在， 则称此极限为函数f ( x, y ) 在曲线弧 0 时， 记作 f ( x, y)ds ，即 L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，
L

积分弧段
2 y x 其中L是抛物线 上点(0,0)与点(1,1)之间的一段曲线弧。
例3 求

x 2 y 2 z 2 ds,
其中 为螺旋线: x = acost , y = asint , z = bt , 0 t 2。
8. 作业
教材 P190 第三题： (1)、 (3) 、(5)、(8)
b a
(2)
(3)
设L: x = x ( y ) (c y d), 则有
L
f x, y ds f x y , y 1 x2 y dy
d c

设L: r = r ( ) ( ), 则有
f x, y ds f r cos , r sin r 2 r 2 d
强调：对弧长的曲线积分，默认 f ( x, y )在光滑曲线L上连续。
3. 对弧长的曲线积分的定义（5）
(4) 与定积分的区别：
——定积分是一元函数在直线区间上作积分和式、取极限; 曲线积分是二元函数在弧段上作积分和式、取极限。 ——定积分中dx表示区间自变量的增量，可正可负； 曲线积分中 ds 表示弧长微元，是个正数。 ——定积分为有向的； 曲线积分为无向的。
1 2 n
si
o
z
注意：为研究方便，默认L为平面曲线
3. 对弧长的曲线积分的定义（4）
(2) 定义的条件可适当减弱：
——对 L 的要求可减弱为：L 为平面上可求长的曲线段。
f ( x, y) 是定义在 L 上的函数。 ——对 f ( x, y) 的要求可减弱为：
(3) 可积条件：
若 f ( x, y)在光滑曲线L 上连续，则 f ( x, y)在L上必可积。
L L
4. 对弧长的曲线积分的性质（3）
性质5

L
ds L0 , 其中L0表示L的长度。
特别地：
f ( x, y )ds表示 f ( x, y) 在闭曲线弧 L 上对弧长的曲线积分。
L
5. 对弧长的曲线积分的意义
物理意义： 当
f ( x, y) 表示L的线密度时，
L所在曲线形构件的质量 m
设 f ( x, y, z ) 为定义在空间曲线 L上的函数， 则函数 f ( x, y, z ) 在曲线弧 L 上对弧长的曲 线积分为：
f ( , , ) s f ( x, y, z ) ds lim i 1
n
L
y
L
( , , )
i i i
0
i
i
i
i
max{ s , s ,, s }。
L
f ( x, y )ds lim f (i ,i )si 。
0
i 1
n
被积函数
积分和式
3. 对弧长的曲线积分的定义（2）
思考
(1) L能否为空间曲线？ (2) 定义的条件能否适当减弱？ (3) 可积条件？ (4) 与定积分的区别？
3. 对弧长的曲线积分的定义（3）
(1) 若L为空间曲线：
yBLA Nhomakorabeao
x
图11-1
2. 曲线形构件的质量（2）
y
(1) 分割： 在L上取点M1, M2, …, Mn-1 , 把L分 成n小段, 记第i小段的长度为 si
m ( , ) s
i i i
M n1
B
( i ,i ) si M i 1
L
i
Mi
(2)近似：
谢 谢！
定义：设L为 xoy 面内的一条光滑曲线弧， 函数 f ( x, y ) 在 L 上有界。 在
L 上任意插入一点列 M1 , M 2 ,, M n1 把 L 分成 n 小段。 设第 i 个小段的
又 ( i , i ) 为第 i 个小段上任意取定的一点， 作乘积 f (i ,i )si 长度 si 。
y
x
L
6. 对弧长的曲线积分的计算（1）
定理1 设 f (x, y)在曲线 L上连续, L的参数方程为
x (t ), ( t ) y (t ),
其中 (t), (t) 在[, ]上具有一阶连续导数, 且 2(t)
+ 2(t) 0, 则曲线积分 L f x, y ds存在，且
第一节
对弧长的曲线积分
1. 知识回顾
对弧长的曲线积分
1. 二重积分：
平面闭区域
定积分的积分区域：数轴上的[a,b]
一段曲线弧？
2. 三重积分：
空间闭区域
2. 曲线形构件的质量（1）
假设一曲线形构件所处的位置在xOy 平面内
的一条光滑曲线弧L上，它的端点是A、B。若该 构件的线密度为 ( x, y )， 其中 (x, y) L ，求该构件的 质量m。如图11-1所示。
4. 对弧长的曲线积分的性质（1）
性质1 设k为常数,则

性质2
L
kf x, y ds k f x, y ds 。
L

f L
x, y g x , y ds L f x, y ds L g x, y ds 。
4. 对弧长的曲线积分的性质（2）

L
f ( x, y)ds 。
几何意义： 当
柱面的面积
f ( x, y) 表示立于L上的柱面在点 ( x, y)处的高时，
z
由 L上方、曲线 z f ( x, y) 所围的
z f ( x, y)
A f ( x, y ) ds
L
A f ( x, y ) ds ，
L
( x, y) L 。
性质3 将L分成两段光滑曲线弧L1与L2, 则
L

性质4
f
x, y ds L
f
1
x, y ds L
f
2
x, y ds 。
f (x, y) g (x, y), 则

L
f
x, y ds L g x, y ds。
特别地，有
。 | f ( x, y )ds | | f ( x, y ) |ds

L
f x, y ds f t , t 2 t 2 t dt

( )
(1)
注意：积分上限要大于下限
6. 对弧长的曲线积分的计算（2）
设L: y = y ( x ) (a x b), 则有



L
L
f x, y ds f x, y x 1 y2 x dx
M2
(3) 求和：
m m ( , )s
i 1 i i 1 i i
n
n
M1 A
i
o
图11-1
x
(i ,i )si ，其中 max{s1 , s2 , , sn } (4) 取极限：m lim 0 i 1
n
3. 对弧长的曲线积分的定义（1）

(4)
设L: x =(t), y =(t), z =(t) ( t ), 则有

L
f x, y, z ds f t , t , t 2 t 2 t 2 t dt

(5)
7. 练习
例1 计算L yds,